Câu hỏi của Annie Scarlet

Question

Chứng minh rằng: Với mọi a,b ∈ Z, nếu a và b không chia hết cho 3 thì $a^6-b^6$ chia hết cho 9

Mashiro Shiina · Accepted Answer

Ta có:

$a^6-b^6=\left(a^3+b^3\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

Xét: a và b có cùng số dư khi chia cho 3 ( nghĩa là cùng dư 1 hoặc 2),khi đó $a-b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3$

a và b khác số dư khi chia cho 3 (nghĩa là 1 số chia 3 dư 1,1 số chia 3 dư 2),khi đó $a+b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3$

$\Rightarrowđpcm$Câu trả lời: Ta có:

$a^6-b^6=\left(a^3+b^3\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

Xét: a và b có cùng số dư khi chia cho 3 ( nghĩa là cùng dư 1 hoặc 2),khi đó $a-b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3$

a và b khác số dư khi chia cho 3 (nghĩa là 1 số chia 3 dư 1,1 số chia 3 dư 2),khi đó $a+b⋮3\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3$

$\Rightarrowđpcm$

Nguyễn Thành Trương · Answer

Vì  $a$  không chia hết cho  $3$ nên  $a$ có dạng $a=3k+1$ hoặc $a=3k+2$   $\left(k\in Z\right)$

Nếu  $a=3k+1$  thì  $a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1$  chia  $3$  dư  $1$

Nếu  $a=3k+2$  thì  $a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+9k+8$  chia  $3$  dư  $1$

Vậy,  nếu  $a$  không chia hết cho  $3$   thì  $a^2$  chia  $3$  dư  $1$   $\left(1\right)$

Tương tự,   ta cũng có nếu  $b$ không chia hết cho  $3$ thì  $b^2$ chia  $3$  dư  $1$  $\left(2\right)$

Từ   $\left(1\right)$ và  $\left(2\right)$ , suy ra  $a^2-b^2$  chia hết cho  $3$   $\left(3\right)$

Ta có:   $a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+a^2b^2+\left(b^2\right)^2\right]=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b^2+\left(b^2\right)^2+3a^2b^2\right]$

$=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]$

Theo  chứng minh trên,   $a^2-b^2$  chia hết cho  $3$  nên   $\left(a^2-b^2\right)^2$  chia hết cho  $3$

Lại có:   $3a^2b^2$  chia hết cho  $3$  với mọi  $a;b\in Z$

nên   $\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2$  chia hết cho  $3$   $\left(4\right)$

Từ  $\left(3\right)$  và  $\left(4\right)$  suy ra  $\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)+3a^2b^2\right]$  chia hết cho   $3.3$  hay  $a^6-b^6$  chia hết cho  $9$  $\left(đpcm\right)$Câu trả lời: Vì  $a$  không chia hết cho  $3$ nên  $a$ có dạng $a=3k+1$ hoặc $a=3k+2$   $\left(k\in Z\right)$