Question

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2}\\ x+y+2\sqrt{xy}=16(1)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y-\sqrt{x^2+y^2}=16-8\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y=16-8\sqrt{2}+\sqrt{x^2+y^2}\)

Mà: \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{(x^2+y^2)(1+1)}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\) theo BĐT Bunhiacopxky

\(\Rightarrow x+y\geq 16-8\sqrt{2}+\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow x+y\geq 16\)

Mà từ $(1)\Rightarrow x+y=16-2\sqrt{xy}\leq 16$

Dấu "=" xảy ra khi $2\sqrt{xy}=0\Rightarrow x=0$ hoặc $y=0$

Thay vào hệ ban đầu thấy không thỏa mãn

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn hệ phương trình

Answer 2

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+2\sqrt{xy}=8\sqrt{2}\\ x+y+2\sqrt{xy}=16(1)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y-\sqrt{x^2+y^2}=16-8\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+y=16-8\sqrt{2}+\sqrt{x^2+y^2}\)

Mà: \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{(x^2+y^2)(1+1)}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\) theo BĐT Bunhiacopxky

\(\Rightarrow x+y\geq 16-8\sqrt{2}+\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow x+y\geq 16\)

Mà từ $(1)\Rightarrow x+y=16-2\sqrt{xy}\leq 16$

Dấu "=" xảy ra khi $2\sqrt{xy}=0\Rightarrow x=0$ hoặc $y=0$

Thay vào hệ ban đầu thấy không thỏa mãn

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn hệ phương trình

Answer 3