Question

\(\left|\sin x-\cos x\right|+\sin2x\)=m có nghiệm khi và chỉ khi

Answer 1

Đặt \(\left|sinx-cosx\right|=t\) (\(0\le t\le\sqrt{2}\)) \(\Rightarrow1-2sinx.cosx=t^2\Rightarrow sin2x=1-t^2\)

Pt trở thành:

\(t+1-t^2=m\Leftrightarrow f\left(t\right)=-t^2+t+1=m\)

\(f'\left(t\right)=-2t+1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(0\right)=1;f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4};f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}-1\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow\sqrt{2}-1\le m\le\dfrac{5}{4}\)

Vậy pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt{2}-1\le m\le\dfrac{5}{4}\)