Question

Gọi x_1, x₂ là nghiệm của phương trình x² + 2009x + 1 = 0

x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² + 2010x + 1 = 0

Tính giá trị biểu thức (x₁+x₃)(x₂+x3)(x₁-x₄)(x₂-x₄)

Answer 1

Bạn viết nhầm đề thì phải, nghiệm của pt thứ 2 là \(x_3;x_4\) mới đúng chứ

Theo định lý Viet, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=1\\x_1+x_2=-2009\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_3\right)\left(x_2+x_3\right)\left(x_1-x_4\right)\left(x_2-x_4\right)=\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2\right)\left(x_1x_2-x_1x_4-x_2x_4+x_4^2\right)\)

\(=\left(x_1x_2+x_3\left(x_1+x_2\right)+x_3^2\right)\left(x_1x_2-x_4\left(x_1+x_2\right)+x_4^2\right)\)

\(=\left(x^2_3-2009x_3+1\right)\left(x^2_4+2009x_4+1\right)=\left(x^2_3+2010x_3+1-4019x_3\right)\left(x^2_4+2010x_4+1-x_4\right)\)

Mà \(x_3;x_4\) là nghiệm của phương trình \(x^2+2010x+1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3^2+2010x_3+1=0\\x_4^2+2010x_4+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\text{​​}\text{​​}\left(x^2_3+2010x_3+1-4019x_3\right)\left(x^2_4+2010x_4+1-x_4\right)=-4019x_3.\left(-x_4\right)=4019.x_3.x_4=4019\)

Do \(x_3.x_4=1\) theo Viet