Question

Câu 5: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị x:

( x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+2018

Answer 1

Ta có : \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)+2018\)

\(=\left[\left(x-1\right)\left(x-7\right)\right]\left[\left(x-3\right)\left(x-5\right)\right]+2018\)

\(=\left(x^2-x-7x+7\right)\left(x^2-3x-5x+15\right)+2018\)

\(=\left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x+15\right)+2018\)

\(=\left(x^2-8x+11-4\right)\left(x^2-8x+11+4\right)+2018\)

\(=\left(x^2-8x+11\right)^2-16+2018\)

\(=\left(x^2-8x+11\right)^2+2002\ge2002>0\forall x\)

\(\left(đpcm\right)\)