Question

Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất:

P= (\(x^2+\dfrac{1}{y^2}\)) ( \(y^2+\dfrac{1}{x^2}\))

Answer 1

Lời giải:

Khai triển \(P=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}\)

\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{1}{16}\Rightarrow \frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{255}{16}\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\(\Rightarrow x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\geq \frac{257}{16}\)

\(\Rightarrow P=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\geq \frac{289}{16}=P_{\min}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)