Đại số lớp 8

mai

Cho x, y, z >0. Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)

Lightning Farron
Lightning Farron 24 tháng 3 2017 lúc 19:04

bài này \(P\ge\dfrac{3}{2}\) là BĐT Nesbitt có vô vàn cách c/m BĐT này từ cách cấp 1-> cấp 3 bn cần thì IB

còn đây là cách c/m tổng quát có thể áp dụng cho mọi bài cả bài này Here

Bình luận (0)
Kuro Kazuya
Kuro Kazuya 24 tháng 3 2017 lúc 23:59

\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\)

\(P=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\) ( 1 )

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+zy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Loading...