Question

Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}>=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}\)

GIÚP MÌNH BÀI NÀY VỚI !

Answer 1

đề sai rồi

Answer 2

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)^2=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right).\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\)

vì x,y,z>0 ,Áp dụng BĐT cauchy:\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\ge3\)

\(\rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{1}{3}.3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z