Lời giải:
Bài toán tương đương với chứng minh $BH< BD< BM$
Thật vậy:
Do $AC> AB$ nên $\widehat{B}> \widehat{C}$
$\widehat{BAH}=90^0-\widehat{B}(1)$
$\widehat{BAD}=\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{180^0-(\widehat{B}+\widehat{C})}{2}>\frac{180^0-2\widehat{B}}{2}=90^0-\widehat{B}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{BAH}< \widehat{BAD}$
$\Rightarrow BH< BD(*)$
Trên tia đối của tia $BA$ lấy $T$ sao cho $AT=AC$
Dễ chứng minh $\triangle ADT=\triangle ADC$ (c.g.c)
$\Rightarrow DT=DC$ và $\widehat{ATD}=\widehat{C}$
$\widehat{DBT}=\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{ATD}=\widehat{A}+\widehat{BTD}> \widehat{BTD}$
$\Rightarrow DT> BD$. Mà $DT=DC$ nên $DC> BD$
$\Rightarrow \frac{BD}{BC}< \frac{1}{2}$ hay $\frac{BD}{BC}< \frac{BM}{BC}$
$\Rightarrow BD< BM(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow BH< BD< BM$ nên ta có đpcm.
