Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)\) nghịch biến trên \(\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) khi và chỉ khi \(f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm bội lẻ \(x=\frac{1}{2}\) và \(f'\left(x\right)\ge0;\forall x\in\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)\) ; \(f'\left(x\right)\le0;\forall x\in\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\)
\(f'\left(x\right)=2\left(m-2\right)x^3-\left(5m-2\right)x^2+2x-m-1\)
Để \(x=\frac{1}{2}\) là nghiệm của pt
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(m-2\right)-\frac{1}{4}\left(5m-2\right)+1-m-1=0\Leftrightarrow m=0\)
Thay lại pt ta được: \(f'\left(x\right)=-4x^3+2x^2+2x-1\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x^2-1\right)\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) pt có 3 nghiệm bội lẻ (không thỏa mãn)
Vậy không tồn tại m thỏa mãn đề bài
