Violympic toán 9

Nguyễn Xuân Đình Lực

Cho 3 số thực a,b,c chứng minh rằng:

\(ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ac+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Akai Haruma
27 tháng 6 2020 lúc 0:45

Lời giải:

Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$

$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$

BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bình luận (0)
tthnew
4 tháng 7 2020 lúc 10:04

SOS là ra, khá đơn giản. Ta có:

$$\text{VP}-\text{VT}=ab \left( -c+a \right) ^{2}+ca \left( b-c \right) ^{2}+cb \left( a-b
\right) ^{2}\geqq 0.$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Duyen Đao
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết