Ôn tập cuối năm phần số học

Với n=2 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n=3.4.5...4>2^2=4\)

=> bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)đúng với n=2

Gỉa sử bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k (\(k\ge2;k\in N\)), khi đó ta có:

\(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh bất đẳng thức trên đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh \(\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...2\left(k+1\right)>2^{k+1}\)

Ta có: \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết)

\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k.\left(2k+1\right)>2^k\)

\(\Rightarrow2.\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+1\right)>2.2^k\)

\(\Rightarrow\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)>2^{k+1}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k+1

Vậy với mọi số tự nhiên n>1 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)

a: (x-3)(x-2)<0

=>x-2>0 và x-3<0

=>2<x<3

b: \(\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x^2+2\right)\ge0\)

=>(x+3)(x+4)>=0

=>x+3>=0 hoặc x+4<=0

=>x>=-3 hoặc x<=-4

c: \(\dfrac{x-1}{x-2}\ge0\)

=>x-2>0 hoặc x-1<=0

=>x>2 hoặc x<=1

d: \(\dfrac{x+3}{2-x}>=0\)

=>\(\dfrac{x+3}{x-2}< =0\)

=>x+3>=0 và x-2<0

=>-3<=x<2

a: |x-1|=-3

mà |x-1|>=0

nên \(x\in\varnothing\)

b: |2x+1|=0

=>2x+1=0

hay x=-1/2

c: \(\left|3-2x\right|=4\)

=>|2x-3|=4

=>2x-3=4 hoặc 2x-3=-4

=>2x=7 hoặc 2x=-1

=>x=7/2 hoặc x=-1/2

câu c

\(C=\left(2x-1\right)^3+\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)\)

\(C=\left(2x-1\right)\left[\left(2x-1\right)^2+\left(4x^2+2x+1\right)\right]\)

\(C=\left(2x-1\right)\left[\left(4x^2-4x+1\right)+\left(4x^2+2x+1\right)\right]\)

\(C=2\left(2x-1\right)\left[4x^2-x+1\right]\)

câu B

\(B=2\left(x+3\right)^2-3\left(x+2\right)^2=2\left[\left(x+3\right)^2-\left(x+2\right)^2\right]-\left(x+2\right)^2\)\(B=2\left[\left(x+3-x-2\right)\left(x+3+x+2\right)\right]-\left(x+2\right)^2=2\left(2x+5\right)-\left(x^2+4x+4\right)\)\(B=4x+10-\left(x^2+4x+4\right)=6-x^2\le6\)

GTLN B =6 tại x =0

không có GTNN

\(A=2\left(x^3+y^3\right)-15xy+7=2\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]-15xy+7\)\(A=2\left(-8+6xy\right)-15xy+7=-9-3xy\)

\(A=-9+3y\left(y+2\right)=-9+3y^2+6y\)

\(A=-12+3\left(y+1\right)^2\)

\(A\ge-12\) đẳng thức khi x=y=-1

\(A=2\left(x^3+y^3\right)-15xy+7\)

\(=2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-15xy+7\)

\(=2\left(-2\right)\left[\left(x+y\right)^2-xy\right]-15xy+7\)

\(=-4\left(4-xy\right)-15xy+7\)

\(=-16+4xy-15xy+7\)

\(=-9-11xy\)

\(=-\left(9+11xy\right)\)

Để - (9 + 11xy) đạt GTNN thì 9 + 11xy lớn nhất.

Vì x + y âm nên xy \(\le0\)

\(\Leftrightarrow\) MAX_xy = 0

\(\Leftrightarrow\) MAX_{9 + 11xy} = 9.

\(\Leftrightarrow\) MIN_{- (9 + 11xy)} = -9

Vây MIN_A = -9.