Ôn tập chương II

a: \(f\left(x\right)=2x^2-7x+9\)

=>\(f'\left(x\right)=2\cdot2x-7=4x-7\)

Đặt f'(x)=0

=>\(4x-7=0\)

=>\(x=\dfrac{7}{4}\)

\(f\left(\dfrac{7}{4}\right)=2\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^2-7\cdot\dfrac{7}{4}+9=\dfrac{23}{8}\)

\(f\left(-1\right)=2\left(-1\right)^2-7\cdot\left(-1\right)+9=18\)

\(f\left(4\right)=2\cdot4^2-7\cdot4+9=13\)

Vì \(f\left(\dfrac{7}{4}\right)< f\left(4\right)< f\left(-1\right)\)

nên \(f\left(x\right)_{max\left[-1;4\right]}=18;f\left(x\right)_{min\left[-1;4\right]}=\dfrac{23}{8}\)

b: \(f\left(x\right)=x^2+5x+3\)

=>\(f'\left(x\right)=2x+5\)

f'(x)=0

=>2x+5=0

=>2x=-5

=>\(x=-\dfrac{5}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+5\cdot\dfrac{-5}{2}+3=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+3=-\dfrac{13}{4}\)

\(f\left(2\right)=2^2+5\cdot2+3=4+10+3=17\)

\(f\left(6\right)=6^2+5\cdot6+3=69\)

Vậy: \(f\left(x\right)_{max\left[2;6\right]}=69;f\left(x\right)_{min\left[2;6\right]}=-\dfrac{13}{4}\)

\(y=mx^2-2mx-m^2-1\)

\(=m\left(x^2-2x\right)-m^2-1\)

Điểm cố định của (d) có tọa độ là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x=0\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-2\right)=0\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{0;2\right\}\\y=-m^2-1\end{matrix}\right.\)

TH1: x=0

Thay x=0 và \(y=-m^2-1\) vào y=x-2, ta được:

\(-m^2-1=0-2=-2\)

=>\(m^2+1=2\)

=>\(m^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)

TH2: x=2

Thay x=2 và \(y=-m^2-1\) vào y=x-2, ta được:

\(-m^2-1=2-2=0\)

=>\(m^2+1=0\)

=>\(m^2=-1\)(vô lý)

(P): \(y=\left(1+m\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3\)

\(=x^2+mx^2-2mx+2x+m-3\)

\(=m\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x-3\)

\(=m\left(x-1\right)^2+x^2+2x-3\)

Tọa độ điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y=x^2+2x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2-3=0\end{matrix}\right.\)

a: Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2}\\y=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}{4\cdot1}=-\dfrac{1+8}{4}=-\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Vì (P): \(y=x^2+x-2\) có a=1>0

nên (P) đồng biến khi x>-1/2 và nghịch biến khi x<-1/2

Vẽ (P): 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+x-2=-\left(m+1\right)x+m+2\)

=>\(x^2+x-2+\left(m+1\right)x-m-2=0\)

=>\(x^2+\left(m+2\right)x-m-4=0\)(1)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía so với trục Oy thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>-m-4<0

=>-m<4

=>m>-4

mà \(m\in Z;m\in\left[-10;4\right]\)

nên \(m\in\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}\)

=>Có 8 số thỏa mãn

a: Đặt y=0

=>\(x^2-3x+2=0\)

=>\(x^2-x-2x+2=0\)

=>\(x\cdot\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Tọa độ giao điểm của (P) với trục Ox là A(1;0) và B(2;0)

b: Thay x=0 vào (P), ta được:

\(y=0^2-3\cdot0+2=2\)

Vậy: (P) cắt trục Oy tại điểm C(0;2)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-3x+2=x-1\)

=>\(x^2-3x+2-x+1=0\)

=>\(x^2-4x+3=0\)

=>(x-1)(x-3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=1-1=0\)

Khi x=3 thì y=3-1=2

Vậy: Tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng y=x-1 là D(1;0) và E(3;2)

Lời giải:
a. Gọi giao điểm của $(P)$ với $Ox$ là $A$. Vì $A\in Ox$ nên $y_A=0$
$A\in (P)$ nên $y_A=x_A^2-3x_A+2$

$\Leftrightarrow 0=x_A^2-3x_A+2$

$\Leftrightarrow (x_A-1)(x_A-2)=0$

$\Leftrightarrow x_A=1$ hoặc $x_A=2$

$\Rightarrow$ tọa độ: $(2,0), (1,0)$
b.

Gọi $B$ là giao điểm của $(P)$ với $Oy$

$B\in Oy$ nên $x_B=0$

$y_B=x_B^2-3x_B+2=2$

Vậy giao điểm là $(0,2)$

c.

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-3x+2=x-1$
$\Leftrightarrow x^2-4x+3=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3$
Nếu $x=1$ thì $y=x-1=1-1=0$

Nếu $x=3$ thì $y=x-1=3-1=2$

Vậy 2 giao điểm là: $(1,0), (3,2)$

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+3x+m=0\)

\(\text{Δ}=3^2-4\cdot1\cdot m=9-4m\)

Để đồ thị hàm số \(y=x^2+3x+m\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt thì Δ>0

=>9-4m>0

=>-4m>-9

=>\(m< \dfrac{9}{4}\)