Ôn tập chương II

C là mệnh đề đúng

Câu 1: B

Câu 2: A

Câu 3: D

Câu 4: A

Câu 1: B

Câu 2: A

Câu 3: D

Câu 4: A

E trên trục hoành nên E(x;0)

A(6;3); B(-3;6); E(x;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-9;3\right);\overrightarrow{AE}=\left(x-6;-3\right)\)

Để A,B,E thẳng hàng thì \(\dfrac{x-6}{-9}=\dfrac{-3}{3}=-1\)

=>x-6=9

=>x=15

Vậy: E(15;0)

Do E thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng \(E\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-9;3\right)\\\overrightarrow{AE}=\left(x-6;-3\right)\end{matrix}\right.\)

3 điểm A, B, E thẳng hàng khi:

\(\dfrac{x-6}{-9}=\dfrac{-3}{3}\Rightarrow x-6=9\)

\(\Rightarrow x=15\Rightarrow E\left(15;0\right)\)

A(m-1;-1); B(2;2-2m); C(m+3;3)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2-m+1;2-2m+1\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(3-m;3-2m\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(m+3-m+1;3+1\right)\)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(4;4\right)\)

Để A,B,C thẳng hàng thì \(\dfrac{3-m}{4}=\dfrac{3-2m}{4}\)

=>3-m=3-2m

=>m=0

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(3-m;3-2m\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(4;4\right)\end{matrix}\right.\)

3 điểm A;B;C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\) với \(k\ne0\)

Hay \(\dfrac{3-m}{4}=\dfrac{3-2m}{4}\Rightarrow m=0\)

Đặt \(\overrightarrow{b}=x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{c}\)

mà \(\overrightarrow{b}=\left(-1;-1\right);\overrightarrow{a}=\left(4;-2\right);\overrightarrow{c}=\left(2;5\right)\)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=-1\\-2x+5y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=-1\\-4x+10y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12y=-3\\4x+2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{4}\\4x=-1-2y=-1-2\cdot\dfrac{-1}{4}=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{8}\\y=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\overrightarrow{b}=\dfrac{-1}{8}\cdot\overrightarrow{a}+\dfrac{-1}{4}\cdot\overrightarrow{c}\)

I là trọng tâm của ΔABC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3\cdot x_I\\y_A+y_B+y_C=3\cdot y_I\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3+\left(-1\right)+x_C=3\cdot1=3\\-1+2+y_C=3\cdot1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3-2=1\\y_C=3-1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(1;2)

Ta có: A(3;-1); B(-1;2); C(1;2); D(x;y)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right);\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(5;-1)

Tâm O của hình bình hành ABCD sẽ là trung điểm của AC

A(3;-1); C(1;2); O(x;y)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\y=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_I\\y_A+y_B+y_C=3y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-\left(x_A+x_B\right)=1\\y_C=3y_I-\left(y_A+y_B\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(1;2\right)\)

Đặt tọa độ D là \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(5;-1\right)\)

Tâm O hình bình hành là trung điểm đường chéo AC nên áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=2\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

Áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2x_P=-2\left(1\right)\\x_B+x_C=2x_M=4\left(2\right)\\x_A+x_C=2x_N=4\left(3\right)\end{matrix}\right.\) 

Cộng vế: \(2x_A+2x_B+2x_C=8-2=6\Rightarrow x_A+x_B+x_C=3\) (4)

Trừ vế cho vế (4) lần lượt với (1);(2);(3) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=5\\x_A=-1\\x_B=-1\end{matrix}\right.\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=2y_P=6\\y_B+y_C=2y_M=0\\y_A+y_C=2y_N=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_A+y_B+y_C=5\)

\(\Rightarrow y_C=-1;y_A=5;y_B=1\)

Vậy \(A\left(-1;5\right);B\left(-1;1\right);C\left(5;-1\right)\)