Chương II - Đường tròn

a: Ta có: góc AOI=góc OBM

góc IOM=góc BMO

mà góc OBM=góc BMO

nên góc AOI=góc MOI

hay OI làphân giác của góc AOM

b: Xét ΔAOI và ΔMOI có

OA=OM

góc AOI=góc MOI

OI chung

Do đó:ΔAOI=ΔMOI

Suy ra: góc OMI=90 độ

hay IM là tiếp tuyến của (O)

D di chuyển trên cung lớn BC thì liên quan gì đến S_ABC chứ

a: ta có: ΔOAB can tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAM và ΔOBM có

OA=OB

góc AOM=góc BOM

OM chung

Do đó: ΔOAM=ΔOBM

Suy ra: góc OBM=90 độ

=>MB là tiếp tuyến của (O) 

b: Xét tứ giác OIMB có góc OIM+góc OBM=180 độ

nên OIMB là tứ giác nội tiếp(1)

Xét tứ giác OAMB có góc OAM+góc OBM=180 độ

nên OAMB là tứ giác nội tiếp(2)

Từ (1) và (2) suy ra O,I,A,M,B cùg thuộc 1 đường tròn

c: Xét ΔMAE và ΔMFA có

góc MAE=góc MFA

góc AME chung

Do đó: ΔMAE đồng dạng với ΔMFA
Suy ra: MA/MF=ME/MA

hay \(MA^2=ME\cdot MF\)

a: Xét tứ giác ABDC có góc ACB=góc ADB=90 độ

nên ABDC là tứ giác nội tiếp đường kính AB

b: Xét (O) có

AB là đường kính

CD là dây

Do đó: CD<AB

Vì nếu đường tròn đi qua ba điểm bất kì thì chắc chắn ba điểm đó sẽ thỏa mãn BĐT tam giác là độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại

Vì giả sử như ba điểm thẳng hàng có một đường tròn đi qua thì chắc chắn là nó sẽ bị trái với BĐT tam giác vì khi đó, chắc chắn sẽ có độ dài một đoạn bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại nên không có bất cứ đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng

a. Ta có: góc AQB=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AQ vuông góc BM

Xét tam giác AMB vuông tại A có AQ là đường cao có: (AQ vuông góc BM)

\(MA^2=MQ.MB\) (hệ thức lượng)

b. Ta có:

OA=OC=R

MA=MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> OM là trung trực của AC.

=> OM vuông góc AC tại I.

=> Góc AIM = 90 độ.

Xét tứ giác AIQM có:

Góc AIM = 90 độ (cmt)

Góc AQM = 90 độ (góc AQB = 90 độ)

=> Góc AIM = góc AQM = 90 độ

=> AIQM là tgnt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc không đổi)

c. BC cắt AM tại K.

Ta có: Góc KAC = góc MCA (tg AMC cân vì MA=MC)

Mà góc KAC + góc AKC = 90 độ (tg AKC vuông tại C)

=> Góc MCA + góc AKC = 90 độ

Mà góc MCA + góc MCK = 90 độ

=> góc AKC = góc MCK

=> Tg MKC cân tại M

=> MC=MK

Mà MC=MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> MK=MA

Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)

\(\dfrac{\Rightarrow HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (*)

Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)

=> \(\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (**)

Từ (*), (**) và MA=MK (cmt) =>CN=HN