Chương 5: ĐẠO HÀM

Ủa hỏi mỗi hoành độ thôi hở :D?

\(f'\left(x\right)=2x-4\)

Vi \(pttt//d:y=8x+2017\Rightarrow f'\left(x\right)=8\)

\(\Rightarrow2x-4=8\Leftrightarrow x=6\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}^-}\dfrac{4.\left(\dfrac{1}{2}\right)+1}{0}=+\infty\)

Hàm có đạo hàm tại \(x=0\) khi nó liên tục tại \(x=0\) và có đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại 0

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(-x^3+bx+c\right)=c\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}x^2=0\)

\(\Rightarrow c=0\)

\(f'\left(0^-\right)=2x_{x\rightarrow0^-}=0\)

\(f'\left(0^+\right)=\left(-3x^2+b\right)_{x\rightarrow0^+}=b\)

\(\Rightarrow b=0\Rightarrow b=c=0\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{3}{2}\left(1-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}\left(1-x^2\right)'=-2x.\dfrac{3}{2}\sqrt{1-x^2}=-3x\sqrt{1-x^2}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}-3x\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x^2}=0\)

\(DKXD:x^2\le1\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

\(\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow pt\Leftrightarrow t^3-3xt-t=0\)

\(t=0\) la nghiem cua pt \(\Rightarrow x=\pm1\)

\(t\ne0\Rightarrow pt\Leftrightarrow t^2-3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow1-x^2-3x-1=0\Leftrightarrow x\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-3\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm1\end{matrix}\right.\)

\(y'=\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}\)

a.

 \(\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=5\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-2\\x=-2\Rightarrow y=8\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=5x-2\\y=5\left(x+2\right)+8\end{matrix}\right.\)

b.

Gọi đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-2\right)\)

d là tiếp tuyến của (C) khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x-2}{x+1}=k\left(x-2\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=k\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{5\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x+1\right)=5\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2-4x+8=0\) (vô nghiệm)

Không tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn

c.

\(5x+y+1=0\Leftrightarrow y=-5x-1\)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho nên có hệ số góc thỏa mãn:

\(k.\left(-5\right)=-1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=25\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\Rightarrow y=2\\x=-6\Rightarrow y=4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{5}\left(x-4\right)+2\\y=\dfrac{1}{5}\left(x+6\right)+4\end{matrix}\right.\)

d.

Tiếp tuyến chắn trên 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc 45 độ

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến có hệ số góc 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=-1\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=3-\sqrt{5}\\x=-1-\sqrt{5}\Rightarrow y=3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=1\left(x+1-\sqrt{5}\right)+3-\sqrt{5}\\y=1\left(x+1+\sqrt{5}\right)+3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A vào ta được: \(\dfrac{b}{-1}=-1\Rightarrow b=1\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{ax+1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-a-1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(y'\left(0\right)=-3\Leftrightarrow\dfrac{-a-1}{\left(0-1\right)^2}=-3\Leftrightarrow-a-1=-3\)

\(\Rightarrow a=2\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\)

\(f'\left(x\right)\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-x^2>0\\1-x>0\\\left(1-x\right)^2\ge2x-x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x< 2\\x< 1\\2x^2-4x+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< x\le\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)

f^'(x)=\(\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}\) = \(\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\)

để f^'(x) \(\ge\) 1 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\) \(\ge\) 1 \(\Leftrightarrow\) 1-x \(\ge\) \(\sqrt{2x-x^2}\) 

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-x^2>0\\1-2x+x^2\ge2x-x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}0< x< 2\\\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\x>\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\) 0<x\(\le\) \(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)

\(-9x+y-5=0\Leftrightarrow y=9x+5\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng d có hệ số góc bằng 9

\(y'=3x^2-6x\)

Tiếp tuyến song song d nên có hệ số góc thỏa mãn \(9.k=-1\Rightarrow k=-\dfrac{1}{9}\)

\(\Rightarrow3x^2-6x=-\dfrac{1}{9}\Rightarrow x=...\)

Nghiệm xấu quá, bạn hỏi lại giáo viên coi đề chính xác không? Pt đường thẳng d là \(-x+9y-5=0\) thì có lý hơn (giải ra hoành độ tiếp điểm không bị lẻ)

a/ Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân, tức là hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\pm1\). Hay \(f'\left(x\right)=\pm1\)

\(f'\left(x\right)=\dfrac{x-1-x}{\left(x-1\right)^2}=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(\left(x-1\right)^2>0\forall x\ne1\Rightarrow f'\left(x\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow x-1=\pm1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\left(x-2\right)+2=4-x\\y=-1\left(x-0\right)+0=-x\end{matrix}\right.\)

b/ \(y=k\left(x-1\right)+3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k\left(x-1\right)+3=\dfrac{x}{x-1}\left(1\right)\\k=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

The (2) vo (1) \(\Rightarrow-\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)^2}+3=\dfrac{x}{x-1}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{x-1}+3=\dfrac{x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{x-1}=3\Leftrightarrow x+1=3x-3\Leftrightarrow x=2\)

\(\Rightarrow k=-\dfrac{1}{\left(2-1\right)^2}=-1;y=2\)

\(\Rightarrow y=-1\left(x-2\right)+2=4-x\)

P/s: Check lại dùm toi nha

Đáp án: A

A