Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a)Xét tam giác ABM và tam giác ECM

     MA=ME(gt)

      góc AMB=góc EMC(đđ)

      MB=MC(do AM là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow\)tam giác ABM= tam giác ECM(c.g.c)

b)Vì tam giác ABM= tam giác ECM(c.g.c)

\(\Rightarrow\)CE=AB(cặp cạnh tương ứng)

Vì AB<AC(cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

Mà AB=CE

\(\Rightarrow\)CE<AC

c)Vì tam giác ABM= tam giác ECM(c.g.c)

\(\Rightarrow\)BAM=MEC(cặp góc tương ứng)

Vì CE<AC\(\Rightarrow\)MEC<MAC

Mà MEC=BAM

\(\Rightarrow\)BAM<MAC(vô lí)

d)Xét tam giác AMC và tam giác EMB

     MA=ME(gt)

      góc AMB=góc EMC(đđ)

      MB=MC(do AM là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow\)tam giác AMC= tam giác EMB(c.g.c)

\(\Rightarrow\)ACB=EBM(cặp góc tương ứng)

\(\Rightarrow\)BE//AC vì ACB=EBM(so le trong)

e)Minh ko hiểu bạn ghi gì cả

Bạn xem lại câu c nha

Làm mất nhiều thời gian quá!

toán mấy ạ

Bài 6:
a)Xét tam giác ABM và tam giác ECM có:
BM=CM (AM là trung tuyến)
góc ABM= góc ECM ( 2 góc đối đỉnh)
AM=EM (gt)
=> tam giác ABM= tam giác ECM (c.g.c)
b) Ta có: tam giác ABM= tam giác ECM (cmt)
=>AB= CE (1) (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác ABC có góc B =90 độ => góc ACB là góc nhọn
=> góc B>góc ACB => AC>AB (2) ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
Từ (1) và (2) => AC> CE
c) Ta có: tam giác ABM= tam giác ECM (cmt)
=> góc BAM= góc E (2 góc tương ứng)
Xét tam giác ACE có : AC> CE (cmt) => góc E > góc CAM ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tg)
Do đó : góc BAM> góc CAM
d) Xét tam giác AMC và tam giác EMB có:
AM= EM (gt)
góc AMC= góc EMB ( 2 góc đối đỉnh)
MC= MB( AM là trung tuyến)
=>tam giác AMC = tam giác EMB (c.g.c)
=>góc ACM= góc EBM ( 2 góc tương ứng)
Mà góc ACM và góc EBM nằm ở vị trí so le trong đối với BE và AC bị CB cắt
=> BE//AC
e)Ta có: tam giác ABM= tam giác ECM (cmt)
=> góc ABM= góc ECM ( 2 góc tương ứng)
mà góc ABM= 90 độ=> góc ECM= 90 độ => EC vuông góc BC

=>3x-1<0

hay x<1/3

điều kiện xác định: \(x^2+4x+3\ge0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+2-1\right)\left(x+2+1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow-3\le x\le-1\)

Lời giải:

\(x^2+4x-3+5\sqrt{x^2+4x+3}>0\)

\(\Rightarrow x^2+4x+3+5\sqrt{x^2+4x+3}-6>0\)

Đặt: \(x^2+4x+3=a\) ta có:

\(bpt\Leftrightarrow a+5\sqrt{a}-6>0\)

\(\Rightarrow a+5\sqrt{a}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{49}{4}>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{2}\right)\left(\sqrt{a}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2}\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+6\right)>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}-1< 0\Leftrightarrow\sqrt{a}< 1\\\sqrt{a}+6< 0\Leftrightarrow\sqrt{a}< -6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\sqrt{a}< -6\) (loại)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}-1>0\Leftrightarrow\sqrt{a}>1\\\sqrt{a}+6>0\Leftrightarrow\sqrt{a}>-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\sqrt{a}>1\Leftrightarrow a>1\)(chọn)

Sau khi tìm được \(a>1\) thì thay vào \(x^2+4x+3>1\) và giải tiếp,mk bận đi học rồi

\(2\left(m^2+4m\right)+10\\ =2\left(m^2+4m+4\right)+2\\ =2\left(m+2\right)^2+2\ge2\forall m\)

Vậy GTNN của biểu thức bằng 2 tại \(m=-2\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{y+z}}{x}\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=y+z+\frac{\sqrt{yz}(y+z)}{x}\)

Hoàn toàn tương tự :

\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+z}}{y}\geq x+z+\frac{\sqrt{xz}(x+z)}{y}\)

\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+y}}{z}\geq x+y+\frac{\sqrt{xy}(x+y)}{z}\)

Cộng theo vế:

\(T\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}}_{M}\)

Ta có:

\(M=\frac{(\sqrt{2}-z)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(\sqrt{2}-x)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(\sqrt{2}-y)\sqrt{xz}}{y}\)

\(=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\right)-(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\)

\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=\sqrt{2}\)

Do đó: \(M\geq 3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow T\geq 2(x+y+z)+M\geq 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

Vậy \(T_{\min}=4\sqrt{2}\)

@Lightning Farron help me

Lời giải:

Ta có:

\(M=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)

\(M=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\([\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}]^2\leq (a+b+c)(a+bc+b+ac+c+ab)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \sqrt{1+ab+bc+ac}\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}(1)\)

AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Rightarrow 9\sqrt{abc}\leq \sqrt{3}(2)\)

Từ (1);(2) suy ra: \(M\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(\dfrac{x+10}{2003}+\dfrac{x+6}{2007}+\dfrac{x+12}{2001}+3=0\)

<=>\(\dfrac{x+10}{2003}+1+\dfrac{x+6}{2007}+1+\dfrac{x+12}{2001}+1=0\)

<=>\(\dfrac{x+2013}{2003}+\dfrac{x+2013}{2007}+\dfrac{x+2013}{2001}=0\)

<=>\(\left(x+13\right)\left(\dfrac{1}{2003}+\dfrac{1}{2007}+\dfrac{1}{2001}\right)=0\)

vì 1/2003+1/2007+1/2001 khác 0

=>x+13=0<=>x=-13

vậy.............