Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đạt Trần Tiến

Cho các số dương a,b,c tm:

a+b+c=1. Tìm Max M=\(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)

@Akai Haruma

Akai Haruma
25 tháng 4 2018 lúc 12:36

Lời giải:

Ta có:

\(M=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)

\(M=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\([\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}]^2\leq (a+b+c)(a+bc+b+ac+c+ab)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \sqrt{1+ab+bc+ac}\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}(1)\)

AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Rightarrow 9\sqrt{abc}\leq \sqrt{3}(2)\)

Từ (1);(2) suy ra: \(M\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Băng Di
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
Thảo Vi
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Trần
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết