Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

\(\left(m-1\right)x^2-2mx+3m-2>0\) (1)

- Nếu \(m=1\)   thì (1) có dạng \(-2x+1>0\)    nên có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

- Nếu \(m\ne1\)   thì (1) là bất phương trình bậc 2 với \(a=m-1\)  và biệt thức \(\Delta'=-2m+5m-2\) 

Trong trường hợp \(\Delta'\ge0\)

ta kí hiệu 

\(x_1:=\frac{m-\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)    ; \(x_2:=\frac{m+\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)     \(d:=x_2-x_1=\frac{2\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)

Lập bảng xét dấu ta được

+ Nếu \(m\le\frac{1}{2}\)   thì \(a<0\)    ; \(\Delta'\le0\)

nên (1) vô nghiệm

+ Nếu \(\frac{1}{2}\) <m< 1 thi a<0; \(\Delta'>0\)

\(d\ge0\) nên (1) \(\Leftrightarrow\) x<\(x_1\)  hoặc \(x_2\)<x

+ Nếu m>2 thì a>0; \(\Delta'<0\)

nên (1) có tập nghiệm T(1)=R.

Ta có kết luận :

* Khi \(m\le\frac{1}{2}\) thì (1) vô nghiệm

* Khi \(\frac{1}{2}\) <m<1 thì (1) có nghiệm

\(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\) <x<\(\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\)

* Khi m=1 thì (1) có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

* Khi 1<m\(\le\) 2 thì (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(-\infty;\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right)\cup\left(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right);+\infty\)

* Khi m>2 thì (1) có nghiệm là mọi x\(\in R\)

\(\frac{x}{2x-1}>\frac{x-1}{x+2}\Rightarrow\frac{x}{2x-1}-\frac{x-1}{x+2}>0\Rightarrow\frac{-x^2+5x-1}{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}>0\)

=> VT :                -        //      +         0           -          //        +            0              -

Vậy \(S=\left(-2;\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\)

\(\frac{x}{2x-1}>\frac{x-1}{x+2}\)   (1)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)-x\left(x+2\right)}{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}<0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{x^2-5x+1}{2x^2+3x-2}<0\)  (a)

Xét các trường hợp

- Nếu \(2x^2+3x-2<0\)  hay là \(x\in\left(-2;\frac{1}{2}\right)\)  := (*) thì (a) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-5x+1>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)  hoặc \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)< x

Kết hợp với điều kiện \(x\in\) (*) ta được -2<x<\(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)

- Nếu \(2x^2+3x-2>0\) hay \(x\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) : = (* *) 

thì (1) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-5x+1<0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Kết hợp với điều kiện x\(\in\)(* * ) ta được \(\frac{1}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Tóm lại : 

(1) có nghiệm -2<x<\(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\) hoặc  \(\frac{1}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Nguyễn Trọng Nghĩa mấy câu này bạn nên dùng kiểu xét dấu cho nhanh

|2x-3|+x-1>0

=>x-1>0=>x>1 

a) \(\begin{cases}x^2-5x+6<0\\ax+4<0\end{cases}\)

bất phương trình đầu có nghiệm là 1 < x < 6

Xét a = 0 => bpt thứ hai vô nghiệm (4 < 0) => Hệ vô nghiệm

Xét a > 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x < -4/a < 0 => kết hợp với 1 < x < 6 thì hệ vô nghiệm

Xét a < 0 => bpt thứ hai có nghiệm là x > -4/a. Kết hợp với 1 < x < 6 thì để hệ có nghiệm thì -4/a <6 => -4 > 6a => a < -4/6 = -2/3, thỏa mãn đk a <0

ĐS: a < -2/3

b) bpt thứ nhất có nghiệm là x > 1.

bpt thứ hai có dạng: (x - a)² +1 - a² < 0; (x - a)² < a² - 1

Nếu a² - 1 < 0, tức là -1 < a < 1 thì bpt trên vô nghiệm,

Nếu a < -1 hoặc a > 1 thì bpt trên có nghiệm là \(-\sqrt{a^2-1}+a\le x\le\sqrt{a^2-1}+a\)

Kết hợp với nghiệm x > 1 thì để hệ có nghieemh ta phải có \(\sqrt{a^2+1}+a>1\) => \(\sqrt{a^2+1}>1-a\), nếu a>1 thì luôn đúng, còn nếu a < -1 thì a² + 1 > 1 - 2a + a² =>a >0 (mâu thuẫn với a < -1)

KL: với a > 1 thì hệ bpt có nghiệm

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM_GM kết hợp với $abc=1$:

\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a\). Tương tự với các phân thức khác

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3\geq 3(a+b+c)\)

Tiếp tục áp dụng AM_GM:

\(\frac{b}{a}+b^2c^2a+c\geq 3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc......\), công theo vế và rút gọn

\(\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng hai BĐT thu được lại, ta có:

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq 2\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Biến đổi:

\(8B=8xyz[(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz]=8xyz(xy+yz+xz-xyz)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm dạng \(ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Rightarrow 8B\leq\left(\frac{xy+yz+xz+7xyz}{2}\right)^2\)

Bằng Am-Gm dễ dàng chứng minh \(xy+yz+xz\leq\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3};xyz\leq\frac{1}{27}\)

Do đó: \(8B\leq\frac{64}{729}\Rightarrow B_{max}=\frac{8}{729}\) \(\Rightarrow 9^3k=\frac{8}{729}.9^3=8\)