Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

a.

Với \(n=1\Rightarrow4\ge3+1\) (đúng)

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge1\) hay \(4^k\ge3k+1\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1 hay: \(4^{k+1}\ge3\left(k+1\right)+1\)

Thật vậy, ta có:

\(4^{k+1}=4.4^k\ge4\left(3k+1\right)=12k+4=3\left(k+1\right)+1+9k>3\left(k+1\right)+1\) (đpcm)

b.

Với \(n=1\Rightarrow\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}>1\) (đúng)

Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay: \(\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+...+\dfrac{1}{3k+1}>1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+...+\dfrac{1}{3k+1}>1-\dfrac{1}{k+1}\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1 hay:

\(\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+...+\dfrac{1}{3\left(k+1\right)+1}>1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+...+\dfrac{1}{3k+4}>1\)

Thật vạy, ta có:

\(\dfrac{1}{k+2}+\dfrac{1}{k+3}+..+\dfrac{1}{3k+4}\)

\(=\dfrac{1}{k+2}+...+\dfrac{1}{3k+1}+\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}+\dfrac{1}{3k+4}\)

\(>1-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}+\dfrac{1}{3k+4}\) (1)

Mặt khác ta có:

\(\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+4}-\dfrac{2}{3k+3}=\dfrac{2}{\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+4\right)}>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+4}>\dfrac{2}{3k+3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}+\dfrac{1}{3k+4}>\dfrac{3}{3k+3}=\dfrac{1}{k+1}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow1-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}+\dfrac{1}{3k+4}>1\) (đpcm)

báo cáo

Lời giải:

$(u_n)$ là 1 cấp số nhân với công bội $q=4$

Do đó CTQT là: $u_{n+1}=u_1.q^n=3.4^n$ với $n=0,1,2,...$

Ta cần tìm các hệ số a;b;c sao cho:

\(u_{n+1}-a\left(n+1\right)^3-b\left(n+1\right)^2-c\left(n+1\right)=u_n-an^3-bn^2-cn\)

\(\Rightarrow u_{n+1}=u_n+3an^2+\left(3a+2b\right)n+\left(a+b+c\right)\)

Đồng nhất hệ số với \(u_{n+1}=u_n+n^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=1\\3a+2b=0\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=-\dfrac{1}{2}\\c=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=1\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)

\(\Rightarrow u_n-\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=1\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n+1\)

\(u_1=1\)

\(u_2=u_1+1\)

\(u_3=u_2+1\)

...

\(u_{n-1}=u_{n-2}+1\)

\(u_n=u_{n-1}+1\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

\(u_1+u_2+...+u_n=n+\left(u_1+u_2+...+u_{n-1}\right)\)

\(\Rightarrow u_n=n\)

Dự đoán : số hạng tổng quát là u_n = 2ⁿ (lại bảo sai đi :)) số trước nhân với 2 thì được số sau, chả là lũy thừa chứ còn gì )

+ Với n = 1 thì u₁ = 1 : đúng 

+ Giả sử điều dự đoán đúng với n = k ≥ 1

⇒ u_k  = 2^k 

⇒ 2u_k = 2^k . 2 = 2^k+1

Mặt khác : 2u_k = u_k+1 (theo công thức truy hồi)

⇒ u_k+1 = 2^k+1

Vậy điều dự đoán đúng với n = k + 1

Mà ta có : điều này đúng với n = 1 , nên sẽ đúng với n = 2, rồi n = 3 , n = 4 .... Vậy là đúng với mọi x là số nguyên dương

Đáp án : u_n = 2ⁿ

\(u_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}+\dfrac{2}{n+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{n+1+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}\right)\)

Đặt \(u_n-\dfrac{3}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow v_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{3}{n+1}\)

\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{2}{3}\Rightarrow u_{n+1}-2=\dfrac{2}{3}\left(u_n-2\right)\)

Đặt \(u_n-2=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-2=1\\v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(q=\dfrac{2}{3}\Rightarrow v_n=1.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=v_n+2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+2\)

\(u_n=\dfrac{4n}{n^4+4n^2+16}=\dfrac{4n}{n^4+8n^2+16-4n^2}=\dfrac{4n}{\left(n^2+4\right)^2-4n^2}=\dfrac{4n}{\left(n^2-2n+4\right)\left(n^2+2n+4\right)}\)

\(=\dfrac{1}{n^2-2n+4}-\dfrac{1}{n^2+2n+4}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)

Do đó:

\(A_n=\dfrac{1}{\left(1-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(1+1\right)^2+3}+\dfrac{1}{\left(2-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(2+1\right)^2+3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)

\(=\dfrac{1}{0^2+3}-\dfrac{1}{2^2+3}+\dfrac{1}{1^2+3}-\dfrac{1}{3^2+3}+\dfrac{1}{2^2+3}-\dfrac{1}{4^2+3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)

\(=\dfrac{1}{0^2+3}+\dfrac{1}{1^2+3}-\dfrac{1}{n^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}=\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{n^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)

\(\Rightarrow\lim\left(A_n\right)=\dfrac{7}{12}\)

Tổng đã cho là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1=1\) ; \(q=\dfrac{1}{3}\)

Do đó: \(S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}\)

Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{3}\\v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

\(S=\sum\limits^{10}_{k=1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)\)