Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải:

Vì $a+b+c=1$ nên:

\(\text{VT}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+ca}{c+a}+\frac{c(a+b+c)+ab}{a+b}\)

\(=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\)

Đặt $(a+b,b+c,c+a)=(x,y,z)$. Bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=2$. CMR: \(\text{VT}=\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2\)

----------------------

Thật vậy:\(\text{VT}=\frac{x^2z^2+x^2y^2+y^2z^2}{xyz}\). Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM thì $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)=2xyz$

\(\Rightarrow \text{VT}=\frac{x^2z^2+x^2y^2+y^2z^2}{xyz}\geq \frac{2xyz}{xyz}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$ hay $a=b=c=\frac{1}{3}$

\(D=\frac{4x+3}{x^2+1}\Leftrightarrow D\left(x^2+1\right)=4x+3\)

\(\Leftrightarrow Dx^2+D-4x-3=0\)

\(\Leftrightarrow Dx^2-4x+\left(D-3\right)=0\)

\(\Delta'=4-D\left(D-3\right)\ge0\Rightarrow4-D^2+3D\ge0\)

\(\Rightarrow\left(4-D\right)\left(D+1\right)\ge0\Rightarrow-1\le D\le4\)