Bài 7: Tứ giác nội tiếp

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)

mà \(\widehat{BFE}+\widehat{AFE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

Xét ΔAFE và ΔACB có

\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAFE~ΔACB

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi dây  cung AC và tiếp tuyến Ax

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên FE//Ax

Ta có: FE//Ax

OA\(\perp\)Ax

Do đó: OA\(\perp\)FE

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AKC}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔACK vuông tại C và ΔADB vuông tại  D có

\(\widehat{AKC}=\widehat{ABD}\)

Do đó: ΔACK~ΔADB

=>\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{CK}{BD}\)

=>\(AB\cdot CK=AK\cdot BD\)

Phương pháp chứng minh 2 tứ giác nội tiếp là giống hệt nhau, nên chỉ cần c/m 1 cái còn cái kia làm tương tự.

Gọi 3 đường cao là AD, BE, CF

D và F cùng nhìn BH dưới 1 góc vuông nên BDHF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{DHF}=180^0\)

Mà \(\widehat{DHF}=\widehat{AHC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{AHC}=180^0\) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\) (cùng chắn AC) (2)

\(\widehat{AMC}=\widehat{APC}\) (do M đối xứng P qua AC) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{AHC}+\widehat{APC}=180^0\)

\(\Rightarrow AHCP\) nội tiếp

Trên tia AH lấy E sao cho HA=HE

=>H là trung điểm của AE

Trên tia AM lấy K sao cho AM=MK

=>M là trung điểm của AK

Xét ΔAKE có

H,M lần lượt là trung điểm của AE,AK

=>HM là đường trung bình của ΔAKE

=>KE//HM

=>KE//BC

=>KE\(\perp\)AE tại E

Xét tứ giác ABKC có

M là trung điểm chung của AK và BC

=>ABKC là hình bình hành

=>KB//AC

=>\(\widehat{BKA}=\widehat{CAK}\)

Xét ΔBAE có

BH là đường cao

BH là đường trung tuyến

Do đó; ΔBAE cân tại B

=>BA=BE và \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)

Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)

\(\widehat{BKA}=\widehat{CAM}\)

mà \(\widehat{CAM}=\widehat{BAE}\)

nên \(\widehat{BEA}=\widehat{BKA}\)

=>BEKA là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{KEA}=\widehat{KBA}=90^0\)

Hình chữ nhật ABKC có \(\widehat{KBA}=90^0\)

nên ABKC là hình chữ nhật

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

Sửa đề: AM nằm giữa AB và AO. Chứng minh ABOC, ABIO, AIOC nội tiếp

Ta có: ΔOMN cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)MN

Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác ABIO có \(\widehat{ABO}=\widehat{AIO}=90^0\)

nên ABIO là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AIOC có \(\widehat{AIO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AIOC là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

MC,MA là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{COA}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

NC,NB là các tiếp tuyến

Do đó: ON là phân giác của góc COB

=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{CON}\)

Ta có: \(\widehat{COA}+\widehat{COB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{COM}+\widehat{CON}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{MON}=180^0\)

=>\(\widehat{MON}=90^0\)

b: Xét tứ giác MCOA có \(\widehat{MCO}+\widehat{MAO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MCOA là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác NBOC có \(\widehat{NBO}+\widehat{NCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên NBOC là tứ giác nội tiếp

M là điểm nào em nhỉ? Hơn nữa câu "DE cung BC nhỏ cắt BC tại E" thực sự rối rắm và đọc ko thể hiểu được.

a: Xét tứ giác AMON có \(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMON là tứ giác nội tiếp

b: Bạn xem lại đề nha bạn

1: Xét ΔABC và ΔADE có

AB/AD=AC/AE
góc A chung

Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔADE

2:Xét ΔABD và ΔACE có

AB/AC=AD/AE

góc A chung

Do đó: ΔABD đồng dạng với ΔACE

Suy ra: góc ADB=góc AEC

=>góc CEB=góc CDB

=>BCDE là tứ giác nội tiếp

Điểm D ở đâu vậy bạn?