a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)
mà \(\widehat{BFE}+\widehat{AFE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
Xét ΔAFE và ΔACB có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAFE~ΔACB
=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi dây cung AC và tiếp tuyến Ax
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FE//Ax
Ta có: FE//Ax
OA\(\perp\)Ax
Do đó: OA\(\perp\)FE
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
Xét (O) có
\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{AKC}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔACK vuông tại C và ΔADB vuông tại D có
\(\widehat{AKC}=\widehat{ABD}\)
Do đó: ΔACK~ΔADB
=>\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{CK}{BD}\)
=>\(AB\cdot CK=AK\cdot BD\)
