Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Ta có:\(2^{2x-1}+4^{x+1}=5\Leftrightarrow2^{-1}.2^{2x}+4^x.4=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.4^x+4.4^x=5\)

\(\Leftrightarrow4^x=\dfrac{10}{9}\)

\(\Leftrightarrow x=log_4\dfrac{10}{9}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=log_4\dfrac{10}{9}\)

\(\Leftrightarrow log\left(3^x+2^x\right)-log\left(3x+2\right)+3^x+2^x-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow log\left(3^x+2^x\right)+3^x+2^x=log\left(3x+2\right)+3x+2\)

Hàm \(f\left(t\right)=logt+t\) đồng biến khi \(t>0\)

\(\Rightarrow3^x+2^x=3x+2\)

\(\Leftrightarrow3^x+2^x-3x-2=0\)

Nhận thấy pt đã cho có 2 nghiệm \(x=\left\{0;1\right\}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3^x+2^x-3x-2\)

\(f'\left(x\right)=3^x.ln3+2^x.ln2-3\)

\(f''\left(x\right)=3^x.ln^23+2^x.ln^22>0;\forall x\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có tối đa 2 nghiệm

Vậy \(x=\left\{0;1\right\}\) là 2 nghiệm của pt đã cho

\(4^{2x^2}-2.4^{x^2+x}+4^{2x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4^{x^2}\right)^2-2.4^{x^2}.4^x+\left(4^x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4^{x^2}-4^x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4^{x^2}=4^x\)

\(\Leftrightarrow x^2=x\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)