Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

1/ \(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(2x+7-9\right)\left(2+\sqrt{x+3}\right)}{\left(4-x-3\right)\left(\sqrt{2x+7}+3\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2\left(x-1\right)\left(2+\sqrt{x+3}\right)}{\left(x-1\right)\left(-\sqrt{2x+7}-3\right)}=\dfrac{2.4}{-6}=-\dfrac{4}{3}\)

2/ \(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2.1-3}{1-1}=-\infty\)

3/ \(=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{3-x}{x-2}=+\infty\)

4/ \(=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{-\dfrac{8x^3}{x^2}+\dfrac{9x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{5x^2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{-8x}{5}=\pm\infty\)

5/ \(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}}+\dfrac{2x}{x}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{2x}{x}+\dfrac{7}{x}}=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Ta có:

$u_n=9-5n; u_{n+1}=9-5(n+1)$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=-5$ là hằng số

Do đó $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$

$u_1=9-5.1=4$

Giả sử $-9991$ là số hạng của scs nói trên.

Khi đó: 

$-9991=u_k=9-5k\Rightarrow k=2000$

$\Rightarrow -9991$ là số hạng thứ $2000$

Còn $2016$ hiển nhiên không phải số hạng của csc vì $u_n=9-5n\leq 4$ với mọi $n\in\mathbb{N}\geq 1$

a: \(A=3m+4n-5p-3m+4n+5p=8n\)

b: Khi n=-1 thì A=-8

Gọi các số hạng của CSN là \(u_1;u_1q;u_1q^2;u_1q^3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1\left(1+q+q^2+q^3\right)=15\\u_1^2\left(1+q^2+q^4+q^6\right)=85\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1^2\left(q+1\right)^2\left(q^2+1\right)^2=225\\u_1^2\left(q^2+1\right)\left(q^4+1\right)=85\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(q+1\right)^2\left(q^2+1\right)}{q^4+1}=\dfrac{45}{17}\)

\(\Leftrightarrow14q^4-17q^3-17q^2-17q+14=0\)

Với \(q=0\) ko phải nghiệm, với \(q\ne0\)

\(\Leftrightarrow14\left(q^2+\dfrac{1}{q^2}\right)-17\left(q+\dfrac{1}{q}\right)-17=0\)

\(\Leftrightarrow14\left(q+\dfrac{1}{q}\right)^2-17\left(q+\dfrac{1}{q}\right)-45=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q+\dfrac{1}{q}=-\dfrac{9}{7}\\q+\dfrac{1}{q}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7q^2+9q+7=0\\2q^2-5q+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{1+q+q^2+q^3}=...\)

Ta sử dụng công thức truy hồi để tìm các số hạng tiếp theo trong dãy:

\(1;3;2;-1;-3;-2;1;3;2;-1;-3;-2...\)

Từ đó ta nhận thấy quy luật:

\(u_n=1\) nếu \(n=6k+1\)

\(u_n=3\) nếu \(n=6k+2\)

\(u_n=2\) nếu \(n=6k+3\)

\(u_n=-1\) nếu \(n=6k+4\)

\(u_n=-3\) nếu \(n=6k+5\)

\(u_n=-2\) nếu \(n=6k\)

Đồng thời:

\(u_3=u_2-u_1\)

\(u_4=u_3-u_2\)

...

\(u_{99}=u_{98}-u_{97}\)

\(u_{100}=u_{99}-u_{98}\)

Cộng vế với vế:

\(u_3+u_4+...+u_{100}=u_{99}-u_1\)

\(\Leftrightarrow u_1+u_2+...+u_{100}=u_2+u_{99}=3+u_{6.16+3}=3+2=5\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(BD=CD\left(gt\right)\)

\(AD\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (2 góc tương ứng)

Gọi giao điểm của \(AD\) và \(BC\) là \(I\)

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(AI\) là cạnh chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}+\widehat{AIB}=180^0\)

\(\Rightarrow2.\widehat{AIB}=180^0\Rightarrow\widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow AD\perp BC\left(đpcm\right)\)

Với n = 1 , ta có : VT = VP = 1 (Luôn đúng)

Với n = 2 , ta có : VT = VP = 4 (mệnh đề đúng)

Giả sử mệnh đề đúng với n = k \(\ge\) 1 (k \(\in\) N*) , tức là :

1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k²

Ta phải CM mệnh đề đúng vs n = k + 1

Ta có : VT = 1 + 3 + 5 + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1)

= (1 + 3 + 5 + 2k - 1) + (k + 1)

= k² + 2(k + 1) - 1

= k² + 2k + 2 - 1

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

= n² = VP (đpcm)

a: Xét ΔBHM có

BE là đường cao

BE là đường trung tuyến

Do đo:ΔBHM cân tại B

mà BE là đường cao

nên BE là phân giác của góc HBM

=>góc HBE=góc MBE

Xét ΔAHB và ΔAMB có

BH=BM

\(\widehat{HBA}=\widehat{MBA}\)

BA chung

Do đo: ΔAHB=ΔAMB

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AMB}=90^0\)

hay AM\(\perp\)BM

b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

SUy ra: HA=EF

c: Xét ΔAHM có

AB là đường cao

AB là đường trung tuyến

Do đo: ΔAHM cân tại A

mà AB là đường cao

nen AB là tia phân giác của góc HAM(1)

Xét ΔAHN có

AC là đường cao
AC là đường trung tuyến

Do đó: ΔAHN cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là phân giác của góc HAN(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MAN}=2\cdot90^0=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN

nên A là trung điểm của MN

\(y=\dfrac{x+z}{2}\)

\(\left(y-4\right)^2=xz\)

\(\left(y-4\right)=\dfrac{x+z-9}{2}\)

3 pt 3 ẩn, kiên trì chút chắc giải được á :D