Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Đầu tiên ta biến đổi hệ thức AI²=AM.AN

Ta có AMDN là hình chữ nhật \(\Rightarrow\) \(AI=IM=IN=\dfrac{MN}{2}\)

\(\Rightarrow AI^2=AM\cdot AN=\dfrac{MN^2}{4}\)

Mà TG AMN vuông tại A

\(\Rightarrow sinAMN=\dfrac{AN}{MN}\)và \(cosAMN=sinANM=\dfrac{AM}{AN}\)

\(\Rightarrow sinAMN\cdot cosAMN=\dfrac{AM\cdot AN}{MN^2}=\dfrac{1}{4}\)(1)

và \(sin^2AMN+cos^2AMN=\dfrac{AM^2+AN^2}{MN^2}=1\left(Pitagore\right)\)(2)

(1)(2) \(\Rightarrow sinAMN-cosAMN=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

và \(\Rightarrow sinAMN+cosAMN=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

do đó: \(sinAMN=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow AMN=75\)

và \(cosAMN=sinANM=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\Rightarrow ANM=15\)

Sau khi chứng minh AMN=B và ANM=C ta có

B=75 và C=15

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

\(CH^2=AH.BH\)

\(=>CH=\sqrt{3.7}=\sqrt{21}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác BCH có :

\(BC=\sqrt{CH^2+BH^2}=\sqrt{\left(\sqrt{21}\right)^2+7^2}=\sqrt{70}\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là :

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.CH.AB=\dfrac{1}{2}.\sqrt{21}.10=5\sqrt{21}\left(cm^2\right)\)

Tam giác ABC vuông tại C, có đường cao CH, áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có:
\(CB^2=BH.AB\)

\(CB^2=7.10\)

\(CB=\sqrt{70}\)
Từ đó áp dụng định lí PI-TA-GO tính AC

Cái chỗ độ dài tam giác ABC mình ko được hiểu cho lắm nê cứ cho là tính độ dài các đoạn trong tam giác ABC đi ha!

p/s: Dạng này ta có 2 trường hợp cần bàn đến.

Ta có: Đặt \(BC=a\Rightarrow AB=a-1;AC=a+1\)

\(BH=BM-HM\) (với \(B< 90^o\))

\(BH=HM-BM\) (với \(B>90^o\))

\(\Leftrightarrow HB^2=\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2\)

Tương tự: \(HC^2=\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2\)

Ta lại có: \(AB^2-BH^2=AC^2-HC^2=AH^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}-x\right)^2=\left(a+1\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}+x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1-\dfrac{a^2}{4}+ax-x^2=a^2+2a+1-\dfrac{a^2}{4}-ax-x^2\)

\(\Leftrightarrow4a=2ax\Leftrightarrow x=2\)

=> HM=2

ban viet ro ABC di, viet chu thuong to ko hieu