Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2-\sqrt{3}\\x_2=2+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(x^2-4x+1=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^5=4x^3-x^3\\\dfrac{1}{x^5}=4x^4-x^3\end{matrix}\right.\)

\(A=2x^3\left(4x-1\right)=2x^5=\left[{}\begin{matrix}2.\left(2-\sqrt{3}\right)^5\\2.\left(2+\sqrt{3}\right)^5\end{matrix}\right.\)

\(\)

1)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x+3y=m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+3y=12\\2x+3y=m\end{matrix}\right.\)

trừ 2 vế của pt cho nhau ta tìm được

\(\left\{{}\begin{matrix}x=12-m\\y=m-8\end{matrix}\right.\)

để \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 12\\m< 8\end{matrix}\right.\Rightarrow}m< 8}\)

câu 8:

gọi time để 3 men làm xong cv là x (h)

time từng người làm xong cv lần lượt a,b,c (h)

theo đề:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}c\\x=a-6\\x=b-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2x\\a=x+6\\b=x+1\end{matrix}\right.\)

mà \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{x}\)nên ta có Pt

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x+6}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x}\)

giải ra x=...(hình như 2/3h)

câu 9:

bonous:

Đặt AD=x(cm)

xét tam giác ABD có: AB²+AD²=49=> AB²=49-x²=BC²-(x+15)²

=> BC²=49-x²+x²+30x+225=274+30x(1)

BD là p.g=> \(\dfrac{AB}{x}=\dfrac{BC}{15}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{x^2}=\dfrac{BC^2}{15^2}=\dfrac{\left(x+15\right)^{^2}}{15^2-x^2}=\dfrac{x+15}{15-x}\)

=> BC²= \(\dfrac{x^2\left(x+15\right)}{15-x}\)(2)

Fr (1) and (2): \(\left(274+30x\right)\left(15-x\right)=x^2\left(x+15\right)\)

(ra số vô tỷ , ai cho e biết sai ợ đâu đy)

câu 7) bạn có thể tham khảo cách giải sau

đặt \(a^2+a+3=n^2\left(n\in Q\right)\)

biến đổi giống pt no nguyên

\(\Rightarrow\left(2a-2n+1\right)\left(2a+2n+1\right)=-11\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2a-2n+1=1\\2a+2n+1=-11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\n=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2a-2n+1=-1\\2a+2n+1=11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\n=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2a-2n+1=11\\2a+2n+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\n=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2a-2n+1=-11\\2a+2n+1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\n=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

nếu sai thì sửa cho mình nhé

\(2x-8\sqrt{2x-1}=21\)

\(\Leftrightarrow8\sqrt{2x-1}=2x-21\\ \Leftrightarrow64\left(2x-1\right)=\left(2x-21\right)^2\)

\(\Leftrightarrow128x-64=4x^2-84x+441\\ \Leftrightarrow4x^2-84x+441-128x+64=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-212x+502=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-106x+251\)

\(\Delta'=\left(-53\right)^2-2\cdot251=2809-502=2307\)

Vì \(\Delta'>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow x_1=\dfrac{53+\sqrt{2307}}{2}\)

\(x_2=\dfrac{53-\sqrt{2307}}{2}\)

Vậy..............................

Đề bài:Cho x,y,z dương thỏa mãn \(x\geq y\geq z>0\). CMR

\(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2\)

Giải

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\right)\left(\dfrac{x^2z}{y}+\dfrac{y^2x}{z}+\dfrac{z^2y}{x}\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

Vậy ta cần chứng minh \(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge\dfrac{x^2z}{y}+\dfrac{y^2x}{z}+\dfrac{z^2y}{x}\)

Thật vậy ta có: \(\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}-\dfrac{x^2z}{y}+\dfrac{y^2x}{z}+\dfrac{z^2y}{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{xyz}\ge0\) (luôn đúng)

Phương trình: \(x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có: \(\Delta=\left(1-5m\right)^2-4\left(6m^2-2m\right)\)

= \(m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)

Ta luôn có: \(\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\Delta\ge0\) với mọi m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m-1\\x_1.x_2=6m^2-2m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1^2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)

\(\Leftrightarrow25m^2-10m+1-12m^2+4m-1=0\)

\(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(13m-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\13m-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{6}{13}\end{matrix}\right.\)

Vậy để \(x_1^2+x_2^2=1\) thì m=0 hoặc m=\(\dfrac{6}{13}\)

có lẽ bạn viết sót biến x : sửa f(x) =\(x^2+3mx+m-1=0\) nếu đúng như ban đơn giản hơn --> không hợp lý.

a) ĐK(1) \(\Delta_{x_m}=9m^2-4m+4\ge0\) chú ý là "\(\ge\)

" không ">"

\(\Delta'_m=4-36=-32< 0\Rightarrow\Delta_x>0\forall m\)

=> f(x) luôn có hia nghiệm với mọi m

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

b) dùng kết quả a) thế vào --> m