Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a: (SB;(ABC))=(BS;BA)=góc SBA

BA^2+BC^2=AC^2

=>2*BA^2=AC^2

=>AB=BC=a

tan SBA=SA/SB=căn 3

=>góc SBA=60 độ

d: (SB;(BAC))=(BS;BA)=góc SBA=60 độ

e:

CB vuông góc AB

CB vuông góc SA

=>CB vuông góc (SBA)

=>(SC;(SBA))=(SC;SB)=góc BSC

SB=căn SA^2+AB^2=2a

SC=căn SA^2+AC^2=a*căn 5

Vì SB^2+BC^2=SC^2

nên ΔSBC vuông tại B

sin BSC=BC/SC=a/a*căn 5=1/căn 5

=>góc BSC\(\simeq27^0\)

Sửa đề; SA=a*căn 2

a: (SC;(ABCD))=(CS;CA)=góc SCA

AC=căn 2*AB^2=a*căn 2

tan SCA=SA/AC=1

=>góc SCA=45 độ

b: BC vuông góc AD

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAD)

=>(SB;(SAD))=(SB;SC)

SC=căn SA^2+AC^2=2a

SB=căn SA^2+AB^2=căn 2a^2+a^2=a*căn 3

BS^2+BC^2=SC^2

=>ΔBSC vuông tại B

=>(SB;SC)=góc BSC

sin BSC=BC/SC=1/2

=>góc BSC=30 độ

c: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAB)

=>(SC;(SAB))=(SC;SB)=góc CSB=30 độ

a . \(\left(SAC\right)\cap\left(SBC\right)=SC\)   (3) 

Trên (SAC) hạ \(AH\perp SC\left(2\right)\) ; trên \(\left(SAB\right)\) hạ \(AK\perp SB\) 

C/m : HK \(\perp SC\) <- \(SC\perp\left(AHK\right)\) <- \(AK\perp SC\) 

C/m : AK \(\perp SC\)  . Ta có : \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SBA\right)\Rightarrow AK\perp\left(SBC\right)\left(AK\perp SB\right)\)

\(\Rightarrow AK\perp SC\) . Từ đó ; c/m được : \(HK\perp SC\)  (1) 

Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra : \(\left(\left(SAC\right);\left(SBC\right)\right)=\widehat{AHK}\)

Tính được : AH ; AK  ; mặt khác : \(AK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AK\perp HK\) 

\(\Rightarrow\) \(\Delta HKA\)  \(\perp\) tại K 

\(\Rightarrow...\)

b. Từ A kẻ \(AE\perp SB\) ; \(AF\perp SD\)

Dễ dàng chứng minh \(AE\perp\left(SBC\right)\) và \(AF\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AE và AF (là góc \(\widehat{EAF}\) nếu nó nhọn và là góc bù với \(\widehat{EAF}\) nếu nó tù)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\dfrac{3a}{2}\)

\(AF=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) ; \(SF=\sqrt{SA^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác SBD:

\(cos\widehat{BSD}=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2SB.SD}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác SEF:

\(EF=\sqrt{SE^2+SF^2-2SE.SF.cos\widehat{BSD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{EAF}=\dfrac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}\approx69^018'\)

Bài này có thể tính gián tiếp dựa trên tính chất: nếu \(d_1\perp\left(P\right)\) thì góc giữa \(d\) và (P) sẽ phụ nhau với góc giữa \(d\) và \(d_1\)

Kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\) (dễ dàng chứng minh)

\(\Rightarrow\) Góc giữa AK và (SBC) là góc phụ với góc giữa AK và AH

Bây giờ chắc dễ rồi ha.

Dễ dàng chứng minh \(AK\perp\left(SBD\right)\) nên tam giác AHK vuông tại K

Hệ thức lượng trong tam giác vuông tính được AK và AH

\(\Rightarrow\widehat{HAK}\Rightarrow\) góc giữa AK và (SBC)

a: SA=SB=SC=SD

Đáy là hình vuông ABCD

=>S.ABCD là hình chóp đều

=>SO vuông góc (ABCD)

b: BD vuông góc AC

BD vuông góc SO

=>BD vuông góc (SAC)

=>BD vuông góc SC

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\\AB\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

b.

Ta có \(CD||AB\) (do ABCD là hcn)

Mà \(AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Lại có \(CD\in\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)

c.

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AD\) là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa SD và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SDA}\approx50^046'\)

d.

Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp\left(ACD\right)\)

Mà \(SA\in\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SAD\right)\perp\left(ACD\right)\) (1)

Theo câu b ta có: \(\left(SAD\right)\perp\left(SCD\right)\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ACD)

Theo câu c ta có: \(\widehat{SDA}=50^046'\)

a: BA vuông góc AD

BA vuông góc SA

=>BA vuông góc (SAD)

b: CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

=>(SCD) vuông góc (SAD)

c: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=căn 6/2

=>góc SDA=51 độ

Không thể tính được giá trị cụ thể, còn tùy thuộc hình dạng của đáy A'B'C'D'

Góc giữa A'C' và C'D' là \(\widehat{A'C'D'}\) nếu nó là góc nhọn hoặc góc bù của nó nếu nó là góc tù