Bài 3: Bất phương trình một ẩn

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\ge2xy\) với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1

=>2A= x²+y²+(x²+y²) \(\ge\)x²+y²+2xy=(x+y)²=1

<=> A\(\ge\)0,5(do x+y=1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=1 <=>x=y=0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0,5 đạt tại x=y=0,5

A sai vì:

Nếu a=-3 b=2 thì a<b nhưng a²>b

(chứng minh 1 mệnh đề sai chỉ cần đưa ra 1 ví dụ trái mệnh đề)

\(x^2-2x+1< 9\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2< 3^2=\left(-3\right)^2\)

\(\Rightarrow x-1< 3\) hoặc \(x-1< -3\)

Nếu x-1<3

\(\Leftrightarrow x< 4\)

Nếu x-1<-3

\(\Leftrightarrow x< -2\)

Ta có

\(x^2-2x+1< 9\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2< 9\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-9< 0\Leftrightarrow\left(x-1-3\right)\left(x-1+3\right)< 0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-4\right)< 0\)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+2< 0\\x-4>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+2>0\\x-4< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< -2\\x>4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x< 4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-2< x< 4\)

Vậy...

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ne0\\2-x\ne0\\x^2-4\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-2\end{matrix}\right.\)

Pt \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(x-2\right)}{x^2-4}+\dfrac{-5\left(x+2\right)}{x^2-4}=\dfrac{2x-3}{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow x-2-5x-10=2x-3\)

\(\Leftrightarrow x-5x-2x=10+2-3\)

\(\Leftrightarrow-6x=9\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}\) ( thỏa mãn)

Vậy nghiệm của pt là \(x=\dfrac{-3}{2}\)

Ta có:

m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m

\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)

\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)

mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) mn+mp+mq+m

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1)

Vậy m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q

Giải:

Ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)

bđt\(\Leftrightarrow2x+2y+2xy-2\le2x^2+2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

bất đẳng thức cuối luôn đúng=> bđt đầu luôn đúng

Đặt A=\(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)

A<1+\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

A<\(1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

A<2-\(\dfrac{1}{n}\)

Vậy...

oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P

Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P

C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :

\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)

C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)

nhân với nhau ta có

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Ta có: \(xy\le\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\dfrac{1}{4}\times1^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2y^2\le\dfrac{1}{16}\)

\(A=\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+1+1+\dfrac{1}{x^2y^2}\)

\(\ge\dfrac{1}{16}+1+1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 0,5

Vậy Min A = 18,0625 <=> x = y = 0,5

mình khẳng định cách làm này chắc chắn đúng

A=(x² +1/y²)(y² +1/x²)=(xy)²+\(\dfrac{1}{xy^2}\)+2

ta có x+y=1 mà x+y \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)nên 1 \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)

nên 1/2 \(\ge\)\(\sqrt{xy}\) =>1/4\(\ge\)xy=>\(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)(xy)²

sau đó ta sử dụng phương pháp chọn điểm rơi để thêm bớt cho phù hợp.

ta thấy gtnn xảy ra <=>x=y=1/2 hay (xy)²=1/16

để bảo toàn cho giá trị nhỏ nhất xảy ra với điều kiện đè bài đã cho là x+y=1 thì ta đặt hằng số \(\alpha\)sao cho:

đặt \(\dfrac{\alpha}{xy^2}\)=xy²

cho xy²=\(\dfrac{1}{16}\)thì\(\alpha\)=\(\dfrac{1}{256}\)

ta có lời giải A=(\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\))+(\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy²)+2

áp dụng bất đẳng thức cosy a²+b²\(\ge\)2ab ta có

\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy²\(\ge\)2\(\dfrac{\dfrac{1}{16}}{xy}\).xy=\(\dfrac{1}{8}\)

ta đã chứng minh \(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)xy² nên ta có

\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)=\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{xy2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{\dfrac{1}{16}}\)=\(\dfrac{255}{16}\)

nên A\(\ge\)\(\dfrac{1}{8}\)+\(\dfrac{255}{16}\)+2=\(\dfrac{289}{16}\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

vậy min A=\(\dfrac{289}{16}\)tại x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

Phương An

Vấn đề thiếu sót

Vì Sao ? khi xy =16 t lại kết luận được A nhỏ nhất --> ép buộc đang cơ sở lý luận toán học

BPT \(\Leftrightarrow3x^2-6x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2>0\)

Có \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) . Dấu ''='' xảy ra khi x = 1

=> Để \(3\left(x-1\right)^2>0\) thì \(\left(x-1\right)^2\ne0\Leftrightarrow x\ne1\)

Vậy \(3x^2-5x-x+3>0\) \(\Leftrightarrow x\ne1\)

Ta có:

\(3x^2-5x-x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x+3>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x-3x+3>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2>0\)

\(\Rightarrow x-1>0\)

\(\Rightarrow x>1\)

3x²-5x-x+3>0

\(\Leftrightarrow\)3x²-6x+3>0

\(\Leftrightarrow\)3(x²-2x+1)>0

\(\Leftrightarrow\)3(x-1)²>0

vì 3>0 nên (x-1)²>0

\(\Rightarrow\)x-1>0 hoặc x-1<0

\(\Rightarrow\)x>1 hoặc x<1