Bài 3: Bất phương trình một ẩn

\(A=\dfrac{1}{x^2-4x+4+5}=\dfrac{1}{\left(x-2\right)^2+5}\)

Do \(\left(x-2\right)^2\ge0\) ; \(\forall x\Rightarrow\left(x-2\right)^2+5\ge5\) ; \(\forall x\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{5}\)

\(A_{max}=\dfrac{1}{5}\) khi \(x=2\)

\(\dfrac{2x+1}{x-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{x-1}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+1-x+1}{x-1}< 0\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{x-1}< 0\)

TH1 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+2>0\\x-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\-1< -x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>-2\\x< 1\end{matrix}\right.\)

<=> -2 < x < 1 

TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+2< 0\\x-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\)vô lí 

Vậy tập nghiệm BFT là S= { x | -2 < x < 1 } 

a.

Vơi mọi x, y ta luôn có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\) (1)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2>\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

b. 

Sử dụng kết quả (1), ta có: 

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge\dfrac{2ab}{ab}=2\) (đpcm)

2đpcm bạn nhé 

Chúc Bạn Học Tốt.

Khi m= \(1-2\sqrt{2}\) ta có bất phương trình

\(3\left(1-2\sqrt{2}-1\right)+1>2\left(1-2\sqrt{2}\right)+x\left(1-2\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow-6\sqrt{2}+1>\left(x+2\right)\left(1-2\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+2< \frac{-6\sqrt{2}+1}{1-2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow x< \frac{-6\sqrt{2}+1-2-4\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{-10\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}\)\(\sim8,2815\)

Ta có: (x+5)(5-x)<0

\(\Leftrightarrow\)x+5 và 5-x khác dấu

Do đó:

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+5>0\\5-x< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+5< 0\\5-x>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>-5\\x< 5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< -5\\x>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-5< x< 5\\5< x< -5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-5< x< 5\)

Vậy: -5<x<5

(x + 1)(x + 2) > 0

Vì x + 1 và x + 2 cùng dấu

\(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x+1>0\\x+2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>-1\\x>-2\end{matrix}\right.\) và \(\left[{}\begin{matrix}x+1< 0\\x+2< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x< -2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}-2< x< -1\\-1>x>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) x nằm giữa -1 và -2

Vậy x nằm giữa -1 và -2

Chúc bn học tốt!!