Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tỉ số lượng giác là các cặp tỉ số giữa các cạnh của tam giác vuông không đổi 

Có 4 tỉ số lượng giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}\\cosa=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}\\tana=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}\\cota=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}\end{matrix}\right.\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}=30^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{4}{BC}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>BC=8(cm)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BC=AB*AC

=>\(AH\cdot8=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)

=>\(AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{4^2}{8}=2\left(cm\right)\\CH=\dfrac{48}{8}=6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(BC\cdot sinB\cdot sinC\)

\(=BC\cdot\dfrac{AC}{BC}\cdot\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=AH\)

\(BC\cdot cos^2B\)

\(=BC\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\dfrac{AB^2}{BC}=BH\)

\(BC\cdot sin^2B=BC\cdot\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2=\dfrac{AC^2}{BC}=CH\)

c:

\(\dfrac{AH^2}{AC^2}=\dfrac{HB\cdot HC}{BC\cdot HC}=\dfrac{HB}{BC}\)

ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BD\cdot BA=BH^2\\AD\cdot AB=AH^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{BH^2}{AB}\\AD=\dfrac{AH^2}{AB}\end{matrix}\right.\)

ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}CE\cdot CA=CH^2\\AE\cdot AC=AH^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}CE=\dfrac{CH^2}{AC}\\AE=\dfrac{AH^2}{AC}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{DB}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}\cdot\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

\(BD\cdot CE\cdot BC\)

\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}\cdot BC\)

\(=\dfrac{AH^4}{AH}=AH^3\)

=DE³

\(BC\cdot HD\cdot HE\)

\(=BC\cdot\dfrac{HA\cdot HB}{AB}\cdot\dfrac{HA\cdot HC}{AC}\)

\(=\dfrac{1}{AH}\cdot\dfrac{HA^2\cdot HB\cdot HC}{1}=\dfrac{HA\cdot HB\cdot HC}{1}=HA^3\)

\(=DE^3\)

=>ĐPCM

b) Ta có:

\(\widehat{B}=180^o-90^o-42^o=48^o\) 

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(cosB=\dfrac{AB}{BM}\Rightarrow cos48^o=\dfrac{6}{BM}\)

\(\Rightarrow BM=\dfrac{6}{cos48^o}\approx9\left(cm\right)\) 

Mà: \(sinB=\dfrac{AM}{BM}\Rightarrow sin48^o=\dfrac{AM}{9}\)

\(\Rightarrow AM=9\cdot sin48^o\approx6,7\left(cm\right)\) 

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow sin70^o=\dfrac{20}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{20}{sin70^o}\approx21,3\) 

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(AB^2=BC^2-AC^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{21,3^2-20^3}\approx7,3\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-90^o-70^o=20^o\)

\(sin60^0=cos\left(90^0-60^0\right)=cos30^0\)

\(cos75^0=sin\left(90^0-75^0\right)=sin15^0\)

\(cot82^03'=tan\left(90^0-82^03'\right)=tan\left(7^057'\right)\)

\(tan80^0=cot\left(90^0-80^0\right)=cot10^0\)

Xét `\triangle MNP` vuông tại `M` có:

 `@cos \hat{N}=[MN]/[NP]=3/5`

     `=>\hat{N}~~53^o`

`@\hat{P}=90^o -\hat{N}=37^o`

`@MP=\sqrt{NP^2 -MN^2}=16`.

`ΔMNP` có \(\widehat{M}=90^o\) => `ΔMNP` vuông tại M

Áp dụng đl pytago: \(MP=\sqrt{20^2-12^2}=16\)

Tỉ số lượng giác: \(sinN=\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{16}{20}\Rightarrow\widehat{N}=53^o8'\)

\(\widehat{M}=180^o-53^o8'-90^o=37^o52'\)

Ta có:

cos N = MN/NP = 3/5

⇒ ∠N ≈ 53⁰

⇒ ∠P ≈ 90⁰ - 53⁰ = 37⁰

∆MNP vuông tại M

⇒ NP² = MN² + MP² (Pytago)

⇒ MP² = NP² - MN²

= 20² - 12²

= 256

⇒ MP = 16

Xét tam giác ABC vuông tại A áp dụng Py-ta-go ta có:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20\left(cm\right)\)

Mà: \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx36^o52'\)  

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-90^o-36^o52'\approx53^o7'\)

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(cosB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{7}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{BC}=\dfrac{4}{7}\\ \Leftrightarrow BC=7\left(cm\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác ABC vuông tại A:

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}\left(cm\right)\)

b)

Có:

\(cosB=\dfrac{4}{7}\\ \Rightarrow\widehat{B}=55^o\\ \Rightarrow\widehat{C}=180^o-90^o-55^o=35^o\)

 mik với :.(