Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

Lời giải:

ĐK: \(x\leq 6; y\geq 3\)

\(\left\{\begin{matrix} x^2+2y=xy+4(1)\\ x^2-x+3-x\sqrt{6-x}=(y-3)\sqrt{y-3}(2)\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\((1)\Leftrightarrow (x^2-4)+(2y-xy)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x+2)-y(x-2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x+2-y)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=2\\ x+2=y\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=2\). Thay vào (2)

\(1=(y-3)\sqrt{y-3}\Rightarrow 1=(y-3)^3\) (bình phương hai vế)

\(\Leftrightarrow y-3=1\Leftrightarrow y=4\)

TH2: \(x+2=y\). Thay vào PT (2)

\(x^2-x+3-x\sqrt{6-x}=(x-1)\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-2x+6-2x\sqrt{6-x}=2(x-1)\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{6-x})^2+x(x-1)=2(x-1)\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow (x-\sqrt{6-x})^2+(x-1)(x-2\sqrt{x-1})=0\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x^2-6+x}{x+\sqrt{6-x}}\right)^2+(x-1).\frac{x^2-4x+4}{x+2\sqrt{x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)^2\left[\frac{(x+3)^2}{(x+\sqrt{6-x})^2}+\frac{x-1}{x+2\sqrt{x-1}}\right]=0\)

Hiển nhiên biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn 0 (\(x\geq 1\) )

Do đó: \((x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=x+2=4\)

Ta có bộ nghiệm \((x,y)=(2,4)\)

a/ ĐKXĐ: x khác 0

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a\)

hpt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}a-y=6\left(1\right)\\a+2y=-4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

pt (2) : a + 2y = -4

<=> a = -2y - 4

Thay a = -2y - 4 vào pt (1) ta có:

\(\dfrac{3}{2}\cdot\left(-2y-4\right)-y=6\)

<=> -3y - 6 - y = 6

<=> -4y = 12 <=> y = -3

=> a = -2y - 4 = -2 . (-3) - 4 = 2

hay \(\dfrac{1}{x}=2\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của hệ là:

(x;y) = (\(\dfrac{1}{2};-3\))

b/ \(\dfrac{2x+1}{x-1}+\dfrac{3\left(x-1\right)}{x+1}=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{3\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{6\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x+1\right)+3\left(x-1\right)^2=6\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x+1+3x^2-6x+3=6x^2-6\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x^2-6x^2+3x-6x=-6-3-1\)

\(\Leftrightarrow-x^2-3x+10=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy............

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx+m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để (P) và (d) cắt nhautại hai điểm phân biệt thì m-2<>0

hay m<>2

b: Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=9x_2\\x_1+x_2=-m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{-1}{10}m\\x_1=\dfrac{-9}{10}m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=m-1\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{9}{100}-m+1=0\)

\(\Leftrightarrow9m^2-100m+100=0\)

\(\text{Δ}=\left(-100\right)^2-4\cdot9\cdot100=6400>0\)

Do đó: PT có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{100-80}{18}=\dfrac{20}{18}=\dfrac{10}{9}\\m_2=\dfrac{100+80}{18}=10\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=-1\\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{8}{x}+\frac{6}{y}=-2(1)\\ \frac{9}{x}-\frac{6}{y}=15(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow \frac{17}{x}=-2+15=13\)

\(\Rightarrow x=\frac{17}{13}\)

\(\frac{2}{y}=\frac{3}{x}-5=\frac{39}{17}-5=\frac{-46}{17}\)

\(\Rightarrow y=\frac{-17}{23}\)

Vậy......

Vậy x = 1; y = 3

x= 3; y=1

a/ pt hoành độ giao điểm: x^2 = 2x + 3

<=> x^2 - 2x - 3 = 0 (*)

<=> x = 3 hoặc x =-1

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> (*) có 2 nghiệm phân biệt

x^2 - 2x - 3 = 0

<=> x = 3 hoặc x =-1

vậy (d) và (P) có 2 điểm chung phân biệt

b/ gọi tọa độ điểm A (x_A;yA); B(x_B;y_B)

theo a: x_A; x_B lần lượt là nghiệm của pt(*)

x_A = 3 => y_A = 9 => A(3;9)

x_B = -1 => y_B = 1 => B(-1;1)

O(0;0)

ta có: \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(xB-xA\right)\left(yO-yA\right)-\left(xO-xA\right)\left(yB-yA\right)\right|\)

= \(\dfrac{1}{2}\left|\left(-1-3\right)\left(0-9\right)-\left(0-3\right)\left(1-9\right)\right|=6\)

ko chắc nữa!

Lời giải:

Để pt có thể có hai nghiệm thì trước hết $k\neq 0$

PT có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta'=1-k^3>0\Leftrightarrow k< 1\)

Áp dụng định lý Viete với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2}{k}\\ x_1x_2=k\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow (x_1^2+x_2^2+2x_1x_2)-8x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-8x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow \frac{4}{k^2}-8k=12\)

\(\Leftrightarrow 2k^3+3k^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} k=\frac{1}{2}\\ k=-1\end{matrix}\right.\). Kết hợp với điều kiện ban đầu của $k$ suy ra \(k=-1\)

(1)<=>x^2+y^2+(x+y)=8

<=>(x+y)^2+(x+y)=2xy+8

(2x+2y+1)^2=8xy+33(a)

(2)<=>(2x+2y+1)=-2xy+11(b)

(a)+4(b);

(2x+2y+1)^2+4(2x+2y+1)=77

<=>(2x+2y+3)^2=81

|2x+2y+3|=9

x+y={-6;3}=>xy={11;2}

z^2+6z+11=0; ∆1: =9-11<0 vn

z^2-3z+2=0(a+b+c=0)

z{1,2}

(x,y)=(1,2);(2,1)

Lời giải:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x(x+1)+y(y+1)=8\\ x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy+x+y=8\\ xy=5-(x+y)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2-2[5-(x+y)]+x+y=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2+3(x+y)-18=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+6)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=3\rightarrow xy=2(1)\\ x+y=-6\rightarrow xy=11(2)\end{matrix}\right.\)

Với (1), theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt: \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)\) và hoán vị

Với (2) , theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt \(x^2+6x+11=0\), pt này vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$

Vậy $(x,y)=(1,2)$ và hoán vị

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)

Đặt : \(x+y=S\) ; \(xy=P\) thì phương trình trở thành :

\(\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\left(1\right)\\S+P=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\\2S+2P=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow S^2+3S=18\)

\(\Leftrightarrow S^2+3S-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-3\right)\left(S+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S-3=0\\S+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=3\\S=-6\end{matrix}\right.\)

Thay \(S=3\) và \(S=-6\) vào phương trình 2 thì ta có :

\(\left[{}\begin{matrix}S=3\Rightarrow P=2\\S=-6\Rightarrow P=11\end{matrix}\right.\)

Khi \(S=3\) và \(P=2\) :

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Khi\(S=-6\) và \(P=11\) :

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-6\\xy=11\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x+11=0\)

Phương trình vô nghiệm .

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\\\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\end{matrix}\right.\)