Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

a) Thay m=\(\sqrt{2}\) vào hpt ta đc

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x+4y=10-\sqrt{2}\\x+\sqrt{2}y=4\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}x+4y=10-\sqrt{2}\\\sqrt{2}x+2y=4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}4y-2y=10-\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\x=4-\sqrt{2}y\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=10-5\sqrt{2}\\x=4-\sqrt{2}y\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{10-5\sqrt{2}}{2}\\x=4-\dfrac{10\sqrt{2}-10}{2}=4-\left(5\sqrt{2}-5\right)=9-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}mx+4y=10-m\\mx+m^2y=4m\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}4y-m^2y=10-5m\\x=4-my\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(4-m^2\right)=10-5m\\x=4-my\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{10-5m}{4-m^2}\\x=4-\dfrac{10m-5m^2}{4-m^2}=\dfrac{16-4m^2-10m+5m^2}{4-m^2}=\dfrac{16+m^2-10m}{4-m^2}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta=m^2-4(m-2)>0\Leftrightarrow m^2-4m+8>0\)

\(\Leftrightarrow (m-2)^2+4>0\) (luôn đúng với mọi \(m\in\mathbb{R}\) )

Khi đó áp dụng hệ thức Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

a)

Từ đây ta có:

\(x_1^2+x_2^2=7\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow m^2-2(m-2)=7\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)(m-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=3\end{matrix}\right.\) ((đều thỏa mãn)

b)

\(x_1^3+x_2^3=18\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=18\)

\(\Leftrightarrow m^3-3m(m-2)=18\)

\(\Leftrightarrow m^2(m-3)+6(m-3)=0\)

\(\Leftrightarrow (m-3)(m^2+6)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m-3=0\\ m^2+6=0(\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=3\)

Bài 2:

PT có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow 4>0\) (luôn đúng với mọi $m$)

Khi đó áp dụng hệ thức Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-4\end{matrix}\right.(*)\)

a) Ta có:

\(x_2=2x_1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+2x_1=2m\\ 2x_1^2=m^2-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x_1=2m\\ 2x_1^2=m^2-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left(\frac{2m}{3}\right)^2=\frac{m^2-4}{2}\Leftrightarrow 8m^2=9m^2-36\)

\(\Leftrightarrow m^2=36\Rightarrow m=\pm 6\)

b)

\(3x_1+2x_2=7\)

\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1+2x_2=4m\\ x_1.2x_2=2(m^2-4)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1+7-3x_1=4m\\ x_1(7-3x_1)=2m^2-8\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=7-4m\) ta có : \(7x_1-3x_1^2=2m^2-8\)

\(\Leftrightarrow 7(7-4m)-3(7-4m)^2=2m^2-8\)

\(\Leftrightarrow 2m^2-8+3(7-4m)^2-7(7-4m)=0\)

\(\Leftrightarrow 50m^2-140m+90=0\)

\(\Leftrightarrow 10(m-1)(5m-9)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1\\ m=\frac{9}{5}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Câu 2:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x+y=4(1)\\ ax+y=2a(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy \((1)-(2)\Rightarrow x=4-2a\)

\(\Rightarrow y=2a-ax=2a-a(4-2a)=2a^2-2a\)

Ta thấy ứng với mỗi giá trị của $a$ ta thu được một giá trị tương ứng duy nhất của \((x,y)=(4-2a, 2a^2-2a)\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Có: \(x+y=4-2a+2a^2-2a=2a^2-4a+4=2(a-1)^2+2\)

Ta thấy \((a-1)^2\geq 0\forall a\in\mathbb{R}\Rightarrow x+y=2(a-1)^2+2\geq 2\)

Ta có đpcm.

cách 1:

từ (2) ta suy ra

\(x+y+1=5-2x\)

\(x+2y=8-5x\)

thay vào, quy đồng lên, rồi giải pt bậc 2 một ẩn x

cách 2:

đặt \(a=\dfrac{x+y+1}{x+2y}\) (a khác 0)

(1) trở thành: \(a+\dfrac{1}{a}=2\)

tới đây dễ rồi, tìm ra a rồi kết hợp (2) để giải

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x,y\in [0;6]\)

Ta lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ 2:

\(\sqrt{x}+\sqrt{6-y}-(\sqrt{y}+\sqrt{6-x})=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})+(\sqrt{6-y}-\sqrt{6-x})=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{6-y-(6-x)}{\sqrt{6-y}+\sqrt{6-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+\sqrt{6-y}}\right)=0\)

Hiển nhiên biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn 0

Do đó \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt ban đầu: \(\sqrt{x}+\sqrt{6-x}=2\sqrt{3}\)

Bình phương hai vế:

\(x+6-x+2\sqrt{x(6-x)}=12\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x(6-x)}=3\Rightarrow x(6-x)=9\)

\(\Leftrightarrow (x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3\)

Thử lại thấy tm

Vậy \((x,y)=(3,3)\)