(1)<=>x^2+y^2+(x+y)=8
<=>(x+y)^2+(x+y)=2xy+8
(2x+2y+1)^2=8xy+33(a)
(2)<=>(2x+2y+1)=-2xy+11(b)
(a)+4(b);
(2x+2y+1)^2+4(2x+2y+1)=77
<=>(2x+2y+3)^2=81
|2x+2y+3|=9
x+y={-6;3}=>xy={11;2}
z^2+6z+11=0; ∆1: =9-11<0 vn
z^2-3z+2=0(a+b+c=0)
z{1,2}
(x,y)=(1,2);(2,1)
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x(x+1)+y(y+1)=8\\ x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy+x+y=8\\ xy=5-(x+y)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2-2[5-(x+y)]+x+y=8\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2+3(x+y)-18=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+6)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=3\rightarrow xy=2(1)\\ x+y=-6\rightarrow xy=11(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1), theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt: \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow (x,y)=(1,2)\) và hoán vị
Với (2) , theo định lý Viete đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt \(x^2+6x+11=0\), pt này vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$
Vậy $(x,y)=(1,2)$ và hoán vị
Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+1\right)+y\left(y+1\right)=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+x+y=8\\x+y+xy=5\end{matrix}\right.\)
Đặt : \(x+y=S\) ; \(xy=P\) thì phương trình trở thành :
\(\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\left(1\right)\\S+P=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+S=8\\2S+2P=10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow S^2+3S=18\)
\(\Leftrightarrow S^2+3S-18=0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-3\right)\left(S+6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S-3=0\\S+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=3\\S=-6\end{matrix}\right.\)
Thay \(S=3\) và \(S=-6\) vào phương trình 2 thì ta có :
\(\left[{}\begin{matrix}S=3\Rightarrow P=2\\S=-6\Rightarrow P=11\end{matrix}\right.\)
Khi \(S=3\) và \(P=2\) :
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
Khi\(S=-6\) và \(P=11\) :
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-6\\xy=11\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2+6x+11=0\)
Phương trình vô nghiệm .
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\\\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\end{matrix}\right.\)
