Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Luyện tập

Câu hỏi của Nguyên Họ Nguyễn - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Tui lớp 8 nhg tui nhớ ko nhầm thì sách có giải mà!

Lời giải:

Bạn nên thêm điều kiện \(n\in\mathbb{N}\)

Phản chứng, giả sử tồn tại \(p\in \mathbb{P}\) sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} a=2^n+3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a=2^{n+1}+2.3^n\vdots p\\ b=2^{n+1}+3^{n+1}\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 3^{n+1}-2.3^n\vdots p\)

\(\Leftrightarrow 3^n\vdots p\). Vì \(p\in\mathbb{P}\Rightarrow p=3\)

Thay vào, \(2^{n+1}+3^{n+1}\vdots 3\) . Với \(n+1\in \mathbb{N}^*\) thì \(3^{n+1}\) luôn chia hết cho $3$, do đó \(2^{n+1}\vdots 3\) (vô lý)

Vậy không tồn tại ước chung nào giữa $a,b$. Do đó $a,b$ nguyên tố cùng nhau.

\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{x+1}=1\\\left(\dfrac{x}{y+1}\right)^2+\left(\dfrac{y}{x+1}\right)^2=1\end{matrix}\right.\)

đặt ẩn giải như thường

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2+2y=1\left(1\right)\\\left(x+y\right)^2-2x-2y=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1)<=>(x-y)(x+y)+2y=1(3)

(2)<=>(x+y)(x+y-2)=0<=>\(\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left[{}\begin{matrix}x+y=0\left(a\right)\\x+y=2\left(b\right)\end{matrix}\right.\)

thay (a) vào (3): 2y=1<=>y=\(\dfrac{1}{2}\)=>x=\(\dfrac{-1}{2}\)

thay (b) vào (3): 2(x-y)+2y=1<=>2x=1<=>x=\(\dfrac{1}{2}\)=>y=2-\(\dfrac{1}{2}\)=\(\dfrac{3}{2}\)

Do \(2a-b=8\)

\(\Rightarrow b=2a-8\)

Ta có :

\(b=52,63\%\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow2a-8=52,63\%\left(a+2a-8\right)\)

\(\Leftrightarrow2a-8=0,5263\times a+2a\times0,5263-8\times0,5263\)

\(\Leftrightarrow2a-8=0,5263a+1,0526a-4,2104\)

\(\Leftrightarrow2a-0,5263a-1,0526a=8-4,2104\)

\(\Leftrightarrow0,4211a=3,7896\)

\(\Leftrightarrow a=8,999\approx9\)

\(\Rightarrow b=9,999\approx10\)

Ta lấy pt thứ 2 cộng 2 lần với pt thứ nhất ta được:

\(x^2+2xy+y^2+4x-4y+4=0\)

Hay: \(\left(x-y+2\right)^2=0\)

Ta suy ra \(y=x+2\). Thay trở lại pt thứ nhất của hệ ta được:

\(x^2-2x\left(x+2\right)+x-2\left(x+2\right)+3=0\)

Trương đương với: \(x^2+5x+1=0\)

Vì vậy có nghiệm: \(x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\).

Do đó: \(y=x+2=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}\)

Vậy hệ pt đã cho có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(\frac{-5+\sqrt{21}}{2};\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right);\left(\frac{-5-\sqrt{21}}{2};\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\right)\)

xy = 320 <=> y = 320/x

(x-16)(y+10)=320 <=> (x-16)((320/x)+10)=320 <=> 320+10x-160-(5120/x)=320 <=> 10x - (5120/x)=160 <=> 10x^2 - 160x-5120=160

=> x1=32 =>y1=10

x2=-16 =>y2=-20