a) Xét hai tam giác vuông: ∆BAD và ∆BAC có:
BA là cạnh chung
AD = AC (gt)
⇒ ∆BAD = ∆BAC (hai cạnh góc vuông)
b) Xét ∆BNE và ∆CNA có:
BN = CN (gt)
∠BNE = ∠CNA (đối đỉnh)
AN = EN (gt)
⇒ ∆BNE = ∆CNA (c-g-c)
c) Xét ∆BMF và ∆DMA có:
BM = DM (gt)
∠BMF = ∠DMA (đối đỉnh)
FM = AM (gt)
⇒ ∆BMF = ∆DMA (c-g-c)
⇒ ∠MBF = ∠MDA (hai góc tương ứng)
Mà ∠MBF và ∠MDA là hai góc so le trong
⇒ BF // AD
⇒ BF // CD (1)
Do ∆BNE = ∆CNA (cmt)
⇒ ∠NBE = ∠NCA (hai góc tương ứng)
Mà ∠NBE và ∠NCA là hai góc so le trong
⇒ BE // CA
⇒ BE // CD (2)
Từ (1), (2) và kết hợp tiên đề Ơclit ⇒ F, B, E thẳng hàng
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, AB < AC. Tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) cắt AC tại D, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh: \(\Delta ABD=\Delta EBD\) và \(DC\perp BC\)
b) Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh: \(\Delta ABC=\Delta EBF\)
c) Kẻ \(CK\perp BD\). Chứng minh: 3 điểm C, K, F thẳng hàng.
d) Biết \(\widehat{ACB}\) = 40o . Tính số đo \(\widehat{ABD}\)
a: Sửa đề; DE\(\perp\)BC
Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
mà \(\widehat{BAD}=90^0\)
nên \(\widehat{BED}=90^0\)
=>DE\(\perp\)BC
b: Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có
BE=BA
\(\widehat{EBF}\) chung
Do đó: ΔBEF=ΔBAC
c: Xét ΔBFC có
FE,CA là các đường cao
FE cắt CA tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔBFC
=>BD\(\perp\)CF
mà CK\(\perp\)BD
mà CF,CK có điểm chung là C
nên C,K,F thẳng hàng
d: Ta có; ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>\(\widehat{ABC}=50^0\)
BD là phân giác của góc ABC
=>\(\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=25^0\)
Cho có AB = AC. D là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: = và AD là tia phân giác của .
b) Vẽ tại M. Trên cạnh Ac lấy điểm N sao cho AN = AM. Chứng minh: = và .
c) Gọi K là trung điểm của NC. Trên tia DK lấy điểm E sao cho K là trung điểm của DE. Chứng minh: = .
d) Chứng minh: MN // BC và 3 điểm M, N, E thẳng hàng.
Cho \(\Delta ABC\) có AB = AC. D là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: \(\Delta ADB\) = \(\Delta ADC\) và AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\).
b) Vẽ \(DC\perp AD\) tại M. Trên cạnh Ac lấy điểm N sao cho AN = AM. Chứng minh: \(\Delta AMD\) = \(\Delta AND\) và \(DC\perp AN\).
c) Gọi K là trung điểm của NC. Trên tia DK lấy điểm E sao cho K là trung điểm của DE. Chứng minh: \(\Delta KCD\) = \(\Delta KNE\).
d) Chứng minh: MN // BC và 3 điểm M, N, E thẳng hàng.
a: Xét ΔABD và ΔACD có
AB=AC
BD=CD
AD chung
Do đó: ΔABD=ΔACD
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)
=>AD là phân giác của góc BAC
b: Sửa đề: DM\(\perp\)AB tại M. Chứng minh AC\(\perp\)DN
Xét ΔAMD và ΔAND có
AM=AN
\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\)
AD chung
Do đó: ΔAMD=ΔAND
=>\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}\)
mà \(\widehat{AMD}=90^0\)
nên \(\widehat{AND}=90^0\)
=>DN\(\perp\)AC
c: Xét ΔKCD và ΔKNE có
KC=KN
\(\widehat{CKD}=\widehat{NKE}\)(hai góc đối đỉnh)
KD=KE
Do đó: ΔKCD=ΔKNE
d: Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
nên MN//BC
Ta có: ΔKCD=ΔKNE
=>\(\widehat{KCD}=\widehat{KNE}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên NE//DC
=>NE//BC
ta có: NE//BC
MN//BC
NE,MN có điểm chung là N
Do đó: M,N,E thẳng hàng
cho △ ABC= △MNP. Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại O tạo thành góc BOC= 120 độ. Tính số đo các góc M của △MNP
BO là phân giác của góc ABC
=>\(\widehat{OBC}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\)
CO là phân giác của góc ACB
=>\(\widehat{OCB}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ACB}\)
Xét ΔBOC có \(\widehat{BOC}+\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^0\)
=>\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^0-120^0=60^0\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=60^0\)
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^0\)
Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)
=>\(\widehat{BAC}+120^0=180^0\)
=>\(\widehat{BAC}=60^0\)
ΔABC=ΔMNP
=>\(\widehat{M}=\widehat{BAC}=60^0\)
cho ΔABC = ΔPQR. biết A= 50 độ và B-C = 50 độ.
a, chứng minh rằng ΔPQR là tam giác vuông
b, chỉ ra các cặp cạnh bằng nhau của mỗi tam giác
a,
\(\Delta ABC=\Delta PQR\\ \Rightarrow\widehat{A}=\widehat{P}=50^o\\ \widehat{B}=\widehat{Q}\)
Xét \(ABC\) có
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=130^o\\ \Rightarrow\widehat{B}=130^o-\widehat{C}\)
\(\widehat{B}-\widehat{C}=50^o\\ \Rightarrow130^o-2\widehat{C}=50^o\\ \Rightarrow\widehat{C}-40^o\\ \Rightarrow\widehat{B}=90^o=\widehat{Q}\)
\(\Rightarrow PQR\) là tam giác vuông
b, \(\Delta ABC=\Delta PQR\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=PR\\AB=PQ\\BC=QR\end{matrix}\right.\)
cho tam giác ABC= tam giác DMN. biết BC=6 cm, B= 60 độ, AC=4cm. a) tam giác DMN có góc nào cũng có số đo bằng 60 độ b) suy ra số đo cạnh nào của tam giác DMN
a) Ta có: \(\Delta ABC=\Delta DMN\left(gt\right)\)
Mà: \(\widehat{B}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{M}=60^o\)
b) \(BC=6\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow MN=6\left(cm\right)\)
\(AC=4\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow DN=4\left(cm\right)\)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy M , trên tia đối của CB lấy N sao cho BM = CN
a) CM : tam giác AMN cân
b. kẻ BE vuông góc AM (E thuộc AM),CF vuông góc AN . CM:tam giác BME= tam giác CNF
c.EB cắt FC tại O. CM: AO là phân giác của góc MAN
d.qua M kẻ vuông góc AM,qua N kẻ vuông góc AN 2 đường thẳng cắt nhau tại H . CM: A , O , H thẳng hàng
a: Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góckề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
BM=CN
Do đó: ΔABM=ΔACN
=>AM=AN
=>ΔAMN cân tại A
b: Xét ΔBME vuông tại E và ΔCNF vuông tại F có
BM=CN
\(\widehat{BME}=\widehat{CNF}\)(ΔABM=ΔACN)
Do đó: ΔBME=ΔCNF
c: Ta có: ΔBME=ΔCNF
=>ME=NF
Ta có: AE+EM=AM
AF+FN=AN
mà AM=AN và ME=NF
nên AE=AF
Xét ΔAEO vuông tại E và ΔAFO vuông tại F có
AO chung
AE=AF
Do đó: ΔAEO=ΔAFO
=>\(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\)
=>\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)
=>AO là phân giác của góc MAN
d: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có
AH chung
AM=AN
Do đó: ΔAMH=ΔANH
=>\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)
=>AH là phân giác của góc MAN
mà AO là phân giác của góc MAN
nên A,O,H thẳng hàng
cho tam giác ABC (AB>AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD. a) Chứng minh tam giác ACM= tam giác DBM. b) Kẻ BE vuông góc với AM tại E. Trên tia MD lấy điểm F sao cho M là trung điểm của EF. Chứng minh CF vuông góc với AD. c) Trên tia FB lấy điểm G sao cho B là trung điểm FG. Gọi H là trung điểm của BE. Chứng minh ba điểm G,H,C thẳng hàng
a: Xét ΔMAC và ΔMDB có
MA=MD
\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)
MC=MB
Do đó: ΔMAC=ΔMDB
b: Xét ΔMEB và ΔMFC có
ME=MF
\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMEB=ΔMFC
=>\(\widehat{MEB}=\widehat{MFC}\)
=>\(\widehat{MFC}=90^0\)
=>CF\(\perp\)AD
c: Xét tứ giác BFCE có
M là trung điểm chung của BC và FE
=>BFCE là hình bình hành
=>BF//CE và BF=CE
Ta có: BF//CE
B\(\in\)FG
Do đó: BG//CE
Ta có: BF=CE
BF=BG
Do đó: BG=CE
Xét tứ giác BGEC có
BG//EC
BG=EC
Do đó: BGEC là hình bình hành
=>BE cắt GC tại trung điểm của mỗi đường
mà H là trung điểm của BE
nên H là trung điểm của GC
=>G,H,C thẳng hàng