Giải các bất đẳng thức:
a. \(\dfrac{5\left(x-1\right)}{6}\)-1≥ \(\dfrac{2\left(x+1\right)}{3}\)
b. \(\dfrac{x+7}{15}\)> \(\dfrac{2x}{5}\)-\(\dfrac{x}{3}\)+\(\dfrac{7}{15}\)
c. 8x-3< 5(\(\dfrac{8x}{5}\)+3)
d.\(\dfrac{3x+5}{2}\)-1≤\(\dfrac{x+2}{3}\)+x
1/a+2b+c + 1/b+2c+a + 1/c+2a+b lớn hơn hoặc bằng 1/a+3b + 1/b+3c + 1/c+3a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+2b+c+c+3a}=\dfrac{4}{4a+2b+2c}=\dfrac{2}{2a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{a+3b}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}\\\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{b+3c}\ge\dfrac{2}{a+b+2c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{b+2c+a}+\dfrac{2}{c+2a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}\)
p/s: đã sửa đề
1/a+2b+c + 1/b+2c+a + 1/c+2a+b nhỏ hơn hoặc bằng 1/a+3b + 1/b+3c + 1/c+3a
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}< =\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\)
Có \(\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{a+3b}< =\dfrac{4}{2a+4b+2c}=\dfrac{2}{a+2b+c}\)
Cm tương tự, ta có:
\(\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{b+3c}< =\dfrac{2}{b+2c+a}\)\(\)
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{c+3a}< =\dfrac{2}{c+2a+b}\)
Cộng 2 vế của 3 BĐT với nhau, ta có:
\(\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{c+3a}< =\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{b+2c+a}+\dfrac{2}{c+2a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{a+2b+c}\right)+\left(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\right)< =\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{b+2c+a}+\dfrac{2}{c+2a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(c+2a+b\right)\cdot\left(a+2b+c\right)-\left(b+2c+a\right)\left(a+2b+c\right)-\left(b+2c+a\right)\left(c+2a+b\right)}{\left(b+2c+a\right)\cdot\left(c+2a+b\right)\cdot\left(a+2b+c\right)}+\dfrac{\left(b+3c\right)\left(c+3a\right)+\left(a+3b\right)\left(c+3a\right)+\left(a+3b\right)\left(b+3c\right)}{\left(a+3b\right)\left(b+3c\right)\left(c+3a\right)}\le0\)
Điền dấu thích hợp (=,<,>)vào chỗ chấm
1,53 .... 1,8
\(\dfrac{12}{-18}....\dfrac{-2}{3}\)
-2,37 ...... -2,41
\(\dfrac{3}{5}=\dfrac{13}{20}\)
giúp mình vói chiều nay mình học
1,53<1,8
\(\dfrac{12}{-18}\)=\(\dfrac{-2}{3}\)
-2,37>-2,41
1,53 < 1,8
12/-18 = -2/3 vi 12.3= 36 = -18.-2=36
-2,37>-2,41
3/5 < 13/20 vi 3.20=60 < 13.5=65
biểu diễn các số 0;\(\dfrac{1}{2}\);-1;1,5;\(\sqrt{2}\);\(-\dfrac{1}{2}\)trên trục số và sắp xếp thứ tự các số đó theo giá trị từ nhỏ đến lớn
cho a<3b,hãy so sánh:
a)3a và 3b
b)2a và a+b
c)a+b và 2b
d)-a và-b
a) Nhân hai vế của \(a< b\) với 3, ta được: \(3a< 3b\)
b) Cộng hai vế của \(a< b\) với a, ta được: \(a+a< a+b\Leftrightarrow2a< a+b\)
c) Cộng hai vế của \(a< b\) với b, ta được:
\(a+b< b+b\Leftrightarrow a+b< 2b\)
d) Nhân hai vế của \(a< b\) với -1, ta được: \(-a>-b\)
Cho a < b hay a < 3b vậy bạn?
hình như cái này trong sách chỉ cho a < b thôi mà nhỉ?
So sánh a va b nếu:
a) a -8≥b -8
b) 13+a≤13+b
a/ \(a-8\ge b-8\)
=> \(a\ge b\) (cộng cả 2 vế bđt với 8)
b/ \(13+a\le13+b\)
=> \(a\le b\) (cộng cả 2 vế bđt với -13)
a,
có a - 8 lớn hơn hoặc bằng b - 8 (cộng cả hai vế với -8)
suy ra a lớn hơn hoặc bằng b
b,
có 13 + a nhỏ hơn hoặc bằng 13 + b (cộng cả hai vế với 13)
suy ra a nhỏ hơn hoặc bằng b
a,\(a-8\ge b-8\)
\(\Leftrightarrow a-8+8\ge b-8+8\)\(\left(cộngcảhaivecho8\right)\)
\(\Leftrightarrow a\ge b\)
b,\(13+a\le13+b\)
\(\Leftrightarrow13+a-13\le13+b-13\left(trừca2vecho13\right)\)
\(\Leftrightarrow a\le b\)
CM: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\ge0\forall a;b;c\)
a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
CM \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng bđt tam giác ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế suy ra đpcm
Cho biết a < b. Chứng minh rằng :
a. 2a + 5 < 2b + 5
b. 2 - 10a > 2 - 10b
c. 7a - 3 < 7b - 1
d. \(3-\dfrac{a}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)
a)Vì a<b=>2a<2b
=>2a+5<2b+5
b)Vì a<b=>-10a>-10b
=>2-10a>2-10b
c)Vì a<b=>7a<7b
=>7a-3<7b-3(1)
Vì -3<-1=>7b-3<7b-1(2)
Từ (1) và (2)=>đpcm
d)Vì a<b=>\(-\dfrac{a}{3}< -\dfrac{b}{3}\)
=>\(3-\dfrac{a}{3}>3-\dfrac{b}{3}\)(3)
Vì 3>1=>\(3-\dfrac{b}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)(4)
Từ (3) và (4)=> đpcm
a, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) 2a < 2b \(\Rightarrow\) 2a + 5 < 2b + 5
b, Ta có: a < b \(\Rightarrow\) -10a > -10b (đổi dấu) \(\Rightarrow\) 2 + (-10a) > 2 + (-10b) \(\Leftrightarrow2-10a>2-10b\)
c, Ta có: a < b \(\Rightarrow\)7a < 7b
Lại có: -3 < -1
\(\Rightarrow\) 7a + (-3) < 7a + (-1) \(\Leftrightarrow\) 7a - 3 < 7b - 1
d, Ta có: a < b \(\Rightarrow-\dfrac{a}{3}>-\dfrac{b}{3}\)(đổi dấu)
Lại có: 3 > 1
\(\Rightarrow3+\left(-\dfrac{a}{3}\right)>1+\left(-\dfrac{b}{3}\right)\Leftrightarrow3-\dfrac{a}{3}>1-\dfrac{b}{3}\)
