§1. Bất đẳng thức

Thửa ruộng thứ 2 thu hoạch được số tạ thóc là:

15,7x2=31,4 (tạ)

Cả hai thửa ruộng thu hoạch được số tạ thóc là:

15,7+31,4=47,1 (tạ)

Đổi 47,1 tạ = 4710 kg 

đáp số: 4710 kg

M=2\(x^4\)+3\(x^2y^2\)+\(y^4\)+2\(y^2\)

M= (2\(x^4\)+ 2\(x^2y^2\)) +(\(x^2y^2\)+\(y^4\))+2\(y^2\)

M=2\(x^2\)(\(x^2\)+\(y^2\))+\(y^2\).(\(x^2\)+\(y^2\))+2\(y^2\)

M=2\(x^2\).2+\(y^2\).2+2\(y^2\)

M=4\(x^2\)+4\(y^2\)

M=4.(\(x^2\)+\(y^2\))

M=4.2=8

vậy M=8

Bạn ơi cái chỗ đoạn \(2x^2\left(x^2y^2\right)+y^2.\left(x^2y^2\right)+2y^2\)                                                                                                                                           ĐOạn đó bạn khi rõ ra cho mk tách kiểu j để được như vậy ko b.Chỗ đó mk ko hiểu

(2\(x^4\)+2\(x^2\)\(y^2\)) +(\(x^2\)\(y^2\)+\(y^4\))+2\(y^2\)

=(2.\(x^2\).\(x^2\)+2\(x^2\).\(y^2\))+(\(x^2\).\(y^2\)+\(y^2\).\(y^2\))+2\(y^2\)

=2\(x^2\).(\(x^2\)+\(y^2\))+\(y^2\).(\(x^2\)+\(y^2\))+2\(y^2\)

ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca

<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0

<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0

<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)

dấu = xảy ra khi a =b=c

 

a&#x2212;b&lt;c&lt;=&gt;a2+b2&#x2212;2ab&lt;c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2

b&#x2212;c&lt;a&lt;=&gt;b2+c2&#x2212;2bc&lt;a2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2

a&#x2212;c&lt;b&lt;=&gt;a2+c2&#x2212;2ac&lt;b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2

2(a2+b2+c2)&#x2212;2(ab+bc+ac)&lt;a2+b2+c2&lt;=&gt;2(ab+ac+bc)&gt;a2+b2+c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(ab+ac+bc)>a2+b2+c2 (đpcm)

 

Bài này khó lắm tớ mới làm có vế trái thôi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x^{3000}\) và 2999 số 1, ta được :

\(x^{3000}+2999\ge3000\sqrt[3000]{x^{3000}}=3000\left|x\right|\ge-3000x\) (a)

Dấu bằng trong (a) xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

Tương tự : 

\(x^{3000}+999\ge1000\sqrt[1000]{x^{3000}}=1000\left|x\right|\ge-1000x\) (b)

Dấu bằng trong (b) xảy ra khi và chỉ khi x = -1.

Từ (a) và (b), ta được :

   \(2x^{3000}+3998\ge-3000x-1000x^3\)

 \(\Leftrightarrow x^{3000}+500x^3+1500x+1999\ge0\)  (c)

Mà phương trình ban đầu nghĩa là dấu bằng xảy ra ở (c), tức là dấu ở (a) và (b) đồng thời xảy ra.

Vậy Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow x=-1\)

Đáp số : \(x=-1\)

Điều kiện : \(x\ge-1\)

Xét hàm số trên [\(-1;+\infty\) )  : \(f\left(x\right)=x^3-3x^2-8x+40\)

                                               \(g\left(x\right)=8\sqrt[4]{4x+4}\)

 

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

\(g\left(x\right)=\sqrt[4]{2^4.2^4.2^4\left(5x+4\right)}\le\frac{2^4+2^4+2^4+\left(4x+4\right)}{4}=x+13\)  (2)

Dấu bằng ở (2) xảy ra khi và chỉ khi x = 3

Mặt khác :

\(f\left(x\right)-\left(x+13\right)=x^3-3x^2-9x+27=\left(x-3\right)^2\left(x+3\right)\ge0\) với mọi \(x\ge-1\)  (3)

Dấu bằng ở (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 3. Ta có :                

  \(\left(1\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)\) (4)

Vậy (4) có nghĩa là dấu bằng ở (2) và (3) đồng thời xảy ra,hay x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

Giải:

Ta có: x, y, z >0

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(\left(x+y\right)\ge2\sqrt{xy}\) và \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)

=> \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)

<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)               (*)

Áp dụng (*) ta có: 

\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)        (1)

\(\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)        (2)

\(\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+z+y+z}=\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)        (3)

Cộng 2 vế của (1), (2), (3) ta có

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\) (đpcm)
 

cảm ơn bạn nhiều

Sword Art Online !!!! 

Tui không phải Nguyễn Hữu Thế

 

 Nguyễn Hữu Thế Mạh Nhất

 

1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x
+ y
+ z

xy+ yz + zx b) x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz c) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x
+ y
+ z
- xy – yz - zx =
.2 .( x
+ y
+ z
- xy – yz – zx) =

đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x
+ y
+ z
- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x
+ y
+ z
- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)

đúng với mọi x;y;z
Vậy x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x
+ y
+ z
+3 – 2( x+ y +z ) = x
- 2x + 1 + y
-2y +1 + z
-2z +1 = (x-1)
+ (y-1)
+(z-1)

0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a)
;b)

c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu
=
=
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát
3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1) Giải:

(luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi




4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a)

b)
c)
Giải: a)



(bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b)



Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c)






Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng:
Giải:





a2b2(a2-b2)(a6-b6)
0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh


Giải:


vì :x
y nên x- y
0
x2+y2

( x-y)
x2+y2-
x+
y
0
x2+y2+2-
x+
y -2
0
x2+y2+(
)2-
x+
y -2xy
0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-
)2
0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)=

2)CM:
(Text

lớp mấy ạ ?

lớp 9

Vì \(a^2\)\(\ge\)0; \(b^2\)\(\ge\)0; 1>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho từng cặp ta có:

\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2\(\sqrt{a^2b^2}\)=2ab    (1)

\(a^2\)+1\(\ge\)2\(\sqrt{a^21}\)=2a          (2)

\(b^2\)+1\(\ge\)2\(\sqrt{b^2.1}\)=2b         (3)

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:

2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(\ge\)2ab+2a+2b

\(a^2\)+\(b^2\)+1\(\ge\)ab+a+b( chia cả 2 vế của Bất phương trình cho 2)

Dấu = xảy ra khi a=b=1

Ta có : a^2 + b^2 > 2ab

            b^2 + 1 > 2b

            a^2 + 1 > 2a

=> 2(a^2 + b^2 + 1) > (2ab + 2a + 2b)

<=> (a^2 + b^2 + 1) > ab + a + b