Bài 5d: Bài tập ôn luyện

Bài 5 (SGK trang 45)

Hướng dẫn giải

y = 2x2 + 2mx + m -1 (Cm). Đây là hàm số bậc hai, đồ thị là parabol quay bề lõm lên phía trên.

a) m = 1 ⇒ y = 2x2 + 2x

Tập xác định D = R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}=+\infty\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Tổng quát y = 2x2 + 2mx + m -1 có tập xác định D = R

y′=4x+2m=0⇔\(x=-\dfrac{m}{2}\).

Suy ra y’ > 0 với \(x>-\dfrac{m}{2}\)  và \(y'< 0\)  với \(x< -\dfrac{m}{2}\) tức là hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\dfrac{-m}{2}\right)\) và đồng biến trên \(\left(-\dfrac{m}{2};+\infty\right)\)

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng (-1, +∞) thì phải có điều kiện (−1,+∞)∈(−\(\dfrac{m}{2}\),+∞)
Hay  \(-\dfrac{m}{2}< -1\)\(\Leftrightarrow m>2\)

ii) Hàm số đạt cực trị tại  \(x=\dfrac{m}{2}\)

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng (-1, +∞), ta phải có:

\(-\dfrac{m}{2}\in\left(-1;+\infty\right)\) hay \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m< 2\).

c) (Cm) luôn cắt Ox tại hai điểm phân biệt 

⇔ phương trình 2x2 + 2mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Δ’ = m2 – 2m + 2 = (m-1)2 + 1 > 0 ∀m

Vậy (Cm) luôn cắt O x tại hai điểm phân biệt.

(Trả lời bởi qwerty)
Thảo luận (1)

Bài 6 (SGK trang 45)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định : D = R

limx→−∞f(x)=+∞limx→+∞f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3limx→−∞⁡f(x)=+∞limx→+∞⁡f(x)=−∞y′=−3x2+6x+9=0⇔x=−1,x=3

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) y=f(x) = f(x) = -x3+3x2+9x+2.

f’(x) = -3x2+6x+9. Do đó:

f’(x-1)=-3(x-1)2+6(x-1)+9

= -3x2 + 12x = -3x(x-4) > 0 ⇔ 0 < x < 4

c) f’’(x) = -6x+6

f’’(x0) = -6 ⇔ -6x0 + 6 = -6 ⇔ x0 = 2

Do đó: f’(2) = 9, f(2) = 24. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 = 2 là:

y=f’(2)(x-2) + f(2) hay y = 9x+6

(Trả lời bởi qwerty)
Thảo luận (1)

Bài 7 (SGK trang 45)

Hướng dẫn giải

a) y = x3 + 3x2 + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)

y’=0 ⇔ x = 0, x = -2

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2+1=\dfrac{m}{2}\) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y=\dfrac{m}{2}\) (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại \(\dfrac{m}{2}\) )

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\dfrac{m}{2}< 1\Leftrightarrow m< 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2\) : (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(1< \dfrac{m}{2}< 5\)\(\Leftrightarrow2< m< 10\)

- Với \(\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với  \(\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).

Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: 1\(y-14=x-2\Leftrightarrow y=x+12\).

 

(Trả lời bởi Hiiiii~)
Thảo luận (2)

Bài 8 (SGK trang 46)

Hướng dẫn giải

a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)

Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1

c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x

⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0



(Trả lời bởi Hiiiii~)
Thảo luận (1)

Bài 9 (SGK trang 46)

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = f(x)=12x4−3x2+32f(x)=12x4−3x2+32 (C) có tập xác định: D = R

y’ = 2x3 – 6x = 2x(x2 – 3)

y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±√3

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b)

y’’ = 6x2 – 6x

y’’ = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔ x = ± 1

y’(-1) = 4, y’’(1) = -4, y(± 1) = -1

Tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1, -1) là : y = 4(x+1) – 1= 4x+3

Tiếp tuyến của (C) tại điểm (1, -1) là: y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3

c) Ta có: \(x^4-6x^2+3=m\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{2}-3x^2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{m}{2}\).

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{m}{2}\).

Dễ thấy:

m < -6: ( 1) vô nghiệm

m = -6 : (1) có 2 nghiệm

-6 < m < 3: (1) có 4 nghiệm

m = 3: ( 1) có 3 nghiệm

m > 3: (1) có 2 nghiệm

 

(Trả lời bởi Hiiiii~)
Thảo luận (1)

Bài 10 (SGK trang 46)

Hướng dẫn giải

a) y= -x4 + 2mx2 – 2m + 1(Cm). Tập xác định: D = R

y ‘ = -4x3 + 4mx = -4x (x2 – m)

- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0

Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0

b) Phương trình -x4 + 2mx2 – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành.

c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:

với m > 0 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu.


(Trả lời bởi Hiiiii~)
Thảo luận (1)

Bài 11 (SGK trang 46)

Hướng dẫn giải

a) y=x+3x+1y=x+3x+1 có tập xác định : R\{-1}

y′=−2(x+1)2<0,∀x≠−1y′=−2(x+1)2<0,∀x≠−1

Tiệm cận đứng: x = -1

Tiệm cận ngang: y = 1

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = 2x + m

(1)

x+3x+1=2x+m⇔x+3=(2x+m)(x+1)⇔2x2+(m+1)x+m−3=0,x≠−1x+3x+1=2x+m⇔x+3=(2x+m)(x+1)⇔2x2+(m+1)x+m−3=0,x≠−1

Δ = (m+1)2 – 4.2(m-3) = m2 – 6m + 25 = (m-3)2 + 16> 0, Δm, nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N (hoành độ của M, N chính là nghiệm của (1)).

 

 

(Trả lời bởi Lê Thiên Anh)
Thảo luận (3)

Bài 12 (SGK trang 47)

Bài 1 (SGK trang 47)

Hướng dẫn giải

y’ = -x2 - 1 < 0, ∀x ∈ R

Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị.

Chọn đáp án B


(Trả lời bởi Lê Thiên Anh)
Thảo luận (1)

Bài 2 (SGK trang 47)

Hướng dẫn giải

y’= 4x3 ⇔ x = 0.

Đạo hàm y’ < 0 với x < 0 và y’ > 0 với x > 0.

Vậy hàm số chỉ có 1 cực tiểu tại x = 0 và không có điểm cực đại.

Vậy chọn đáp án 1



(Trả lời bởi Hiiiii~)
Thảo luận (1)