Question

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\( f(x)=\dfrac{1}{2}x^4-3x^2+\dfrac{3}{2}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0\)

c) Biện luận theo tham số \(m\) số nghiệm của phương trình: \(x^4 – 6x^2 + 3 = m\)

 

Answer 1

a) Xét hàm số y = (C) có tập xác định: D = R

y’ = 2x³ – 6x = 2x(x² – 3)

y’ = 0 ⇔ x = 0, x = ±√3

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b)

y’’ = 6x² – 6x

y’’ = 0 ⇔ 6x² – 6x = 0 ⇔ x = ± 1

y’(-1) = 4, y’’(1) = -4, y(± 1) = -1

Tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1, -1) là : y = 4(x+1) – 1= 4x+3

Tiếp tuyến của (C) tại điểm (1, -1) là: y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3

c) Ta có: \(x^4-6x^2+3=m\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{2}-3x^2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{m}{2}\).

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : \(y=\dfrac{m}{2}\).

Dễ thấy:

m < -6: ( 1) vô nghiệm

m = -6 : (1) có 2 nghiệm

-6 < m < 3: (1) có 4 nghiệm

m = 3: ( 1) có 3 nghiệm

m > 3: (1) có 2 nghiệm