Giải bài tập Sách Giáo Khoa - Bài 2 Cực trị hàm số - Toán 12

Bài 1 (SGK trang 18)

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau : a) y 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10 b) y x^4+ 2x^2 – 3 ; c) yx+dfrac{1}{x} d) yx^3(1-x)^2 e) ysqrt{x^2-x+1}

Đọc tiếp

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

a) $y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10$

b) $y = x^4+ 2x^2 – 3 ;$

c) $y=x+\dfrac{1}{x}$

d) $y=x^3(1-x)^2$

e) $y=\sqrt{x^2-x+1}$

Hướng dẫn giải

a) $y'=6x2+6x-36=6(x2+x-6)y'=6x2+6x-36=6(x2+x-6)$

y’= 0 ⇔ x²+ x – 6= 0 ⇔ x=2; x=-3

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 , y_cđ = y(-3) = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , y_(ct) = y₍₂₎= -54

b) y’ = 4x³+ 4x = 4x(x²+ 1); y’ = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y_(ct) = y₍₀₎= -3

c) Tập xác định : D = R\{0}

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 , y_cđ = y(-1) = -2 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 2.

d) Tập xác định : D = R.

y’ = 3x²(1 – x)² + x³. 2(1 – x)(-1) = x² (1 – x)[3(1 – x) - 2x] = x² (x – 1)(5x – 3) .

y’ = 0 ⇔ x = 0, x =, x = 1.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = , y_cđ = = ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 0 .

e) Tập xác định : D = R.

Hàm số đạt cực tiểu tại

(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (3)

Bài 2 (SGK trang 18)

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+1$

b) $y=\sin 2x -x$

c) $y=\sin x +\cos x$

d) $y = x^5 – x^3 – 2x + 1$

Hướng dẫn giải

a) y' = 4x³ – 4x = 4x(x² - 1) ; y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = $\pm$ 1.

y'' = 12x²- 4 .

y''(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ= y(0) = 1.

y''( $\pm$ 1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = $\pm$ 1, y_ct= y( $\pm$ 1) = 0.

b) y' = 2cos2x - 1 ;
$y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .$

y'' = -4sin2x .

$y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = $\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_cđ= sin( $\frac{\pi }{3}$ + k2π) - $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

$y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = $-\frac{\pi }{6}$ + kπ, y_ct= sin( $-\frac{\pi }{3}$ + k2π) + $\frac{\pi }{6}$ - kπ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}$ - kπ , k ∈ Z.

c) y = sinx + cosx = $\sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ; y' = $\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )$ ;

$y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow$ $x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .$

$y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).$

$y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )=$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ , đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+(2k+)\pi (k\in \mathbf{Z}).$

d) y' = 5x⁴ - 3x² - 2 = (x² - 1)(5x² + 2) ; y' = 0 ⇔ x²- 1 = 0 ⇔ x = ±1.

y'' = 20x³- 6x.

y''(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_ct= y(1) = -1.

y''(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_cđ= y(-1) = 3.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 3 (SGK trang 18)

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại $x=0 $ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

Hướng dẫn giải

Đặt $y=f(x)=\sqrt{\left | x \right |}$ . Giả sử x > 0, ta có :

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .$

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 vì $f(x)=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f(0),\forall x\in\textbf{ R}$ .
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 18)

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số $m$, hàm số $y=x^3-mx^2-2x+1$

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Hướng dẫn giải

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m² + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 5 (SGK trang 18)

Tìm $a$ và $b$ để các cực trị của hàm số

$y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b$

đều là những số dương và $x_0 =-\dfrac{5}{9}$ là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải

- Xét a = 0 hàm số trở thành y = -9x + b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.

- Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a²x² + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔ $x=-\frac{1}{a}$ hoặc $x=-\frac{9}{5a}$

- Với a < 0 ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết $x_{0}=-\frac{5}{9}$ làđiểm cực đại nên $\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{9}{5}$ . Theo yêu cầu bài toán thì

$y_{(CT)}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.$

- Với a > 0 ta có bảng biến thiên :

Vì $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}$ . Theo yêu cầu bài toán thì: $y_{(ct)}=y\left ( \frac{1}{a} \right )=y\left ( \frac{25}{81} >0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\right )\cdot \left ( \frac{81}{25} \right )^{2}\left ( \frac{25}{81} \right )^{3}+2.\frac{81}{25}\cdot \left ( \frac{25}{81} \right )^{2}-9\cdot \frac{25}{81}+b>0\Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.$

Vậy các giá trị a, b cần tìm là: $\left\{\begin{matrix} a=-\frac{9}{5} & \\ b>\frac{36}{5} & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\frac{81}{25} & \\ b>\frac{400}{243} & \end{matrix}\right.$ .
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 6 (SGK trang 18)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số $y=\dfrac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x=2 $

Hướng dẫn giải

Tập xác định : $D=\textbf{R}\setminus \left \{ -m \right \};$

$y'=\frac{2x^{2}+2mx+m^{2}-1}{(x+m)^{2}}.$

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m²+ 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

- Với m = -1, ta có : $y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};$

$y'=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ x=0 hoặc x=2.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

- Với m = -3, ta có: $y=\frac{x^{2}3x+1}{x-3};$

$y'=\frac{x^{2}-6x+8}{(x-3)^{2}};y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2-6x+8=0} & \\ x\neq 3 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ x=2 hoặc x=4

Ta có bản biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 1.11 (Sách bài tập trang 15)

Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) $y=-2x^2+7x-5$

b) $y=x^3-3x^2-24x+7$

c) $y=x^4-5x^2+4$

d) $y=\left(x+1\right)^3\left(5-x\right)$

e) $y=\left(x+2\right)^2\left(x-3\right)^3$

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Thảo luận (1)

Bài 1.12 (Sách bài tập trang 15)

Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) $y=\dfrac{x+1}{x^2+8}$

b) $y=\dfrac{x^2-2x+3}{x-1}$

c) $y=\dfrac{x^2+x-5}{x+1}$

d) $y=\dfrac{\left(x-4\right)^2}{x^2-2x+5}$

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Thảo luận (1)

Bài 1.13 (Sách bài tập trang 15)

Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) $y=x-6\sqrt[3]{x^2}$

b) $y=\left(7-x\right)\sqrt[3]{x+5}$

c) $y=\dfrac{x}{\sqrt{10-x^2}}$

d) $y=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}$

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Thảo luận (1)

Bài 1.14 (Sách bài tập trang 15)

Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) $y=\sin2x$

b) $y=\cos x-\sin x$

c) $y=\sin^2x$

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Thảo luận (1)

Bài 2: Cực trị hàm số

Bài 1 (SGK trang 18)

Bài 2 (SGK trang 18)

Bài 3 (SGK trang 18)

Bài 4 (SGK trang 18)

Bài 5 (SGK trang 18)

Bài 6 (SGK trang 18)

Bài 1.11 (Sách bài tập trang 15)

Bài 1.12 (Sách bài tập trang 15)

Bài 1.13 (Sách bài tập trang 15)

Bài 1.14 (Sách bài tập trang 15)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực