Giải bài tập Sách Giáo Khoa - Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12

Bài 1 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) $y = 2 + 3x – x^3 $

b) $y = x^3 + 4x^2 + 4x $

c) $y = x^3 + x^2+ 9x $

d) $y =\ –2x^3 + 5 $

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: R; y' = 3(1 - x²); y' = 0 ⇔ x = ± 1 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R ; y' = 3x² + 8x + 4; y' = 0 ⇔ x= -2, x = .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : R ;

y' = 3x² + 2x + 9 > 0, ∀x. Vậy hàm số luôn đồng biến, không có cực trị.

Bảng biến thiên :

Đồ thị hàm số như hình bên.

d) Tập xác định : R ;

y' = -6x² ≤ 0, ∀x. Vậy hàm số luôn nghịch biến, không có cực trị.

Bảng biến thiên :

Đồ thị hàm số như hình bên.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 2 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) $y = -x^4 + 8x^2 – 1$

b) $y = x^4 - 2x^2 + 2$

c) $y=\dfrac{1}{2}x^4+x^2-\dfrac{3}{2}$

d) $y =\ –2x^2 - x^4 + 3$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định : R ; y' =-4x³ + 16x = -4x(x²- 4);

y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±2 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R ; y' =4x³ - 4x = 4x(x²- 1);

y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±1 .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : R ; y' =2x³ + 2x = 2x(x²+ 1); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định : R ; y' = -4x - 4x³ = -4x(1 + x²); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 3 (SGK trang 43)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) $y=\dfrac{x+3}{x-1}$

b) $y=\dfrac{1-2x}{2x-4}$

c) $y=\dfrac{-x+2}{2x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định : R\ {1}; $y'=-4(x-1)2<0,\forallx\neq1y'=-4(x-1)2<0,\forallx\neq1$ ;

Tiệm cận đứng : x = 1 . Tiệm cận ngang : y = 1.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

b) Tập xác định : R \{2}; $y'=6(2x-4)2>0,\forallx\neq2y'=6(2x-4)2>0,\forallx\neq2$

Tiệm cận đứng : x = 2 . Tiệm cận ngang : y = -1.

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

c) Tập xác định : $R∖{-12}R∖{-12}$ ; $y'=-5(2x+1)2<0,\forallx\neq-12y'=-5(2x+1)2<0,\forallx\neq-12$

Tiệm cận đứng : $x=-12x=-12$ . Tiệm cận ngang : $y=-12y=-12$ .

Bảng biến thiên :

Đồ thị như hình bên.

(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 44)

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) $x^3 – 3x^2 + 5 = 0$

b) $-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0$

c) $2x^2 – x^4 = -1$

Hướng dẫn giải

Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a), b) và với đường thẳng y = -1 ở câu c).

a) Xét hàm số y = x³ – 3x² + 5 . Tập xác định : R.

y' = 3x²- 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2.

Bảng biến thiên:

Đồ thị như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

b) Xét hàm số y = -2x³ + 3x² - 2 . Tập xác định : R.

y' = -6x^{2 +} 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Đồ thị như hình bên. Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

c) Xét hàm số y = f(x) = 2x² - 2x⁴. Tập xác định : R.

y' = 4x - 4x³= 4x(1 - x²); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (1)

Bài 5 (SGK trang 44)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

$ y = -x^3 + 3x + 1$

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số $m$.

$ x^3 - 3x + m = 0$

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = -x³ + 3x + 1. Tập xác định : R.

y' = -3x²+ 3 = -3(x² - 1); y' = 0 ⇔ x = -1,x = 1.

Bảng biến thiên:

Đồ thị (C) như hình bên.

b) x³ - 3x + m = 0 ⇔ -x³ + 3x + 1 = m + 1 (1). Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d) : y = m + 1.

Từ đồ thị ta thấy :

m + 1 < -1 ⇔ m < -2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.

m + 1 = -1 ⇔ m = -2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2 : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) có 3 nghiệm.

m + 1 = 3 ⇔ m = 2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, (1) có 2 nghiệm.

m + 1 > 3 ⇔ m > 2 : (d) cắt (C) tại 1 điểm, (1) có 1 nghiệm.
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (2)

Bài 6 (SGK trang 44)

Cho hàm số ydfrac{mx-1}{2x+m} a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua A(-1,sqrt{2}) c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m2

Đọc tiếp

Cho hàm số $y=\dfrac{mx-1}{2x+m}$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số $m$, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định $m$ để tiệm cận đứng đồ thị đi qua $A(-1,\sqrt{2})$

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=2$

Hướng dẫn giải

a) . Tập xác định : R {} ;

và ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .

(Trả lời bởi Quang Duy)

Thảo luận (1)

Bài 7 (SGK trang 44)

Cho hàm số ydfrac{1}{4}x^4+dfrac{1}{2}x^2+m a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1 ; 1) b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m1 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng dfrac{7}{4}

Đọc tiếp

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+m$

a) Với giá trị nào của tham số $m$, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1 ; 1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi $m=1$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng $\dfrac{7}{4}$

Hướng dẫn giải

a) Điểm (-1 ; 1) thuộc đồ thị của hàm số ⇔ $1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ .

b) m = 1 $\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1$ . Tập xác định : R.

$y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1);$ y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Đồ thị như hình bên.

c) $\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-3=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.$ Vậy hai điểm thuộc (C) có tung độ $\frac{7}{4}$ là A(1 ; $\frac{7}{4}$ ) và B(-1 ; $\frac{7}{4}$ ). Ta có y'(-1) = -2, y'(1) = 2.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là : y - $\frac{7}{4}$ = y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x - $\frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại B là : y - $\frac{7}{4}$ = y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - $\frac{1}{4}$ .

(Trả lời bởi Quang Duy)

Thảo luận (1)

Bài 8 (SGK trang 44)

Cho hàm số yx^3+(m+3)x^2+1−m (m là tham số) có đồ thị là (C_m) a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x-1 b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x-2

Đọc tiếp

Cho hàm số $y=x^3+(m+3)x^2+1−m$ ($m$ là tham số) có đồ thị là $(C_m)$

a) Xác định $m$ để hàm số có điểm cực đại là $x=-1$

b) Xác định $m$ để đồ thị $(C_m)$ cắt trục hoành tại $x=-2$

Hướng dẫn giải

a) $y'=3x+2(m+3)x=x[3x+2(m+3)];y'=0\Leftrightarrowx1=0y'=3x2+2(m+3)x=x[3x+2(m+3)];y'=0\Leftrightarrowx1=0$

hoặc $x2=-2m+63x2=-2m+63$

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của y':

Rõ ràng, để hàm số có điểm cực đại tại x = -1 ta phải có

$x2=-2m+63=-1\Leftrightarrowm=-32x2=-2m+63=-1\Leftrightarrowm=-32$

(Chú ý : trường hợp x₁ = x₂thì hàm số không có cực trị).

b) (C_m) cắt Ox tại x = -2 ⇔ -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0 ⇔ $m=-53m=-53$
(Trả lời bởi Quang Duy)

Thảo luận (1)

Bài 9 (SGK trang 44)

Cho hàm số ydfrac{(m+1)x-2m+1}{x-1} ( m là tham số) có đồ thị là (G). a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1) b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số vớ m tìm được c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung

Đọc tiếp

Cho hàm số $y=\dfrac{(m+1)x-2m+1}{x-1}$ ( $m$ là tham số) có đồ thị là (G).

a) Xác định $m$ để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số vớ $m$ tìm được

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung

Hướng dẫn giải

a) (0 ; -1) ∈ (G) ⇔ $-1=\frac{(m+1)\cdot 0-2m+1}{0-1}\Leftrightarrow m=0.$

b) m = 0 ta được hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (G₀).

(HS tự khảo sát và vẽ đồ thị).

c) (G₀) cắt trục tung tại M(0 ; -1). $y'=\frac{-2}{(x-1)^{2}}$ => y'(0) = -2.

Phương trình tiếp tuyến của (G₀) tại M là : y - (-1) = y'(0)(x - 0) ⇔ y= -2x - 1.

(Trả lời bởi Quang Duy)

Thảo luận (2)

Bài 1.32 (Sách bài tập trang 33)

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số :

a) $y=x^2-4x+3$

b) $y=2-3x-x^2$

c) $y=2x^3-3x^2-2$

d) $y=x^3-x^2+x$

e) $y=\dfrac{x^4}{2}-x^2+1$

f) $y=-x^4+2x^3+3$

Hướng dẫn giải

1) TXĐ: $D=R$
2) Sự biến thiên
Giới hạn hàm số tại vô cực
$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty$

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^2-4x+3\right)=+\infty$
Chiều biến thiên
$y'\left(x\right)=2x-4$
$y'\left(x\right)=0$$\Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên:

Nhận xét: hàm số nghịch biên trên khoảng $\left(-\infty;2\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty\right)$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}=-1$.
- Đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)

Thảo luận (3)

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1 (SGK trang 43)

Bài 2 (SGK trang 43)

Bài 3 (SGK trang 43)

Bài 4 (SGK trang 44)

Bài 5 (SGK trang 44)

Bài 6 (SGK trang 44)

Bài 7 (SGK trang 44)

Bài 8 (SGK trang 44)

Bài 9 (SGK trang 44)

Bài 1.32 (Sách bài tập trang 33)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực