Ta đã biết trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+a_1t\\y=y_0+a_2t\end{matrix}\right.\left(a_1^2+a^2_2\ne0,t\in R\right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng có dạng như thế nào?.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0 cố định và vectơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua M0 và song song hoặc trùng với giá của \(\overrightarrow{a}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiNếu điểm \({M_0}\) nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), thì đường thẳng đó là đường thẳng duy nhất cần tìm.
Nếu điểm \({M_0}\) không nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), do trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó, nên tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua \({M_0}\) và song song với giá của vectơ \(\vec a\).
Như vậy, có duy nhất một đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với A(1; 2; 1), B(7; 5; 3), C(4; 2; 0), A'(4; 9; 9). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, A'C' và BB'.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(\overrightarrow {AB} \left( {6;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB.\)
Ta có \(AC\parallel A'C'\) nên \(\overrightarrow {AC} \left( {3;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C'.\)
Ta có \(AA'\parallel BB'\) nên \(\overrightarrow {AA'} \left( {3;7;8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BB'.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) khác \(\overrightarrow{0}\).
a) Giải thích tại sao có thể viết: \(M\in d\Leftrightarrow\overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{a}\left(t\in R\right)\).
b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo x0, y0, z0 và a1, a2, a3.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).
Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+8t\\y=-4t\\z=3+12t\end{matrix}\right.\)
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của d.
b) Tìm ba điểm trên d.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = \left( {8; - 4;12} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Chọn \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.0\\y = - 4.0\\z = 3 + 12.0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.1\\y = - 4.1\\z = 3 + 12.1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 4\\z = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(B\left( {7; - 4;15} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 2\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.2\\y = - 4.2\\z = 3 + 12.2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = - 8\\z = 27\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( {15; - 8;27} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận \(\overrightarrow{v}\) = (9; 0; −2) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng d có đi qua điểm M(−4; 0; −5) không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z = - 7 - 2t\end{array} \right.\)
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 9t\), ta được \( - 4 = 5 + 9t\), suy ra \(t = - 1.\)
Thay \(t = - 1\), tung độ và cao độ của điểm \(M\) vào các phương trình còn lại, ta thấy các phương trình đó thoả mãn (do \(0 = 0\) và \( - 5 = - 7 - 2.\left( { - 1} \right)\)).
Vậy đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+a_1t\\y=y_0+a_2t\\z=z_0+a_3t\end{matrix}\right.\) với a1, a2, a3 đều khác 0.
Lấy điểm M(x; y; z) bất kì thuộc d. So sánh các biểu thức: \(\dfrac{x-x_0}{a_1};\dfrac{y-y_0}{a_2};\dfrac{z-z_0}{a_3}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)
Suy ra \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t.\)
Như vậy \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M0(5; 0; −6) và nhận \(\overrightarrow{a}=\left(3;2;-4\right)\) làm vectơ chỉ phương.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y - 0}}{2} = \frac{{z - \left( { - 6} \right)}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 2; 1) và B(4; 5; 3).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
b) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}.\)
(Trả lời bởi datcoder)
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết M(2; 0; −1) và N(4; 3; 1).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0 + 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\); phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}.\)
(Trả lời bởi datcoder)