Bài 1: Phương trình mặt phẳng

a) Cho vectơ \(\overrightarrow{n}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Qua một điểm M0 cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (α) vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow{n}\)?

b) Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Qua một điểm M0 cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(a_1,a_2,a_3\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1,b_2,b_3\right)\). Xét vectơ \(\overrightarrow{n}=\left(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1\right)\).

a) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) có khác \(\overrightarrow{0}\) hay không?

b) Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n};\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}\).

c) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) không?

Cho biết hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;1;1\right),\overrightarrow{b}=\left(1;-2;0\right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm vectơ \(\overrightarrow{n}\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(1; 2; 3) và nhận \(\overrightarrow{n}\) = (7; 5; 2) làm vectơ pháp tuyến. Gọi M(x; y; z) là một điểm tùy ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0M}\) theo x, y, z.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi M(x; y; z) là một điểm tùy ý trong không gian.

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow{M_0M}\).

b) Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_0M}\).

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α).