Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left(2;1;3\right)\) và \(\overrightarrow{a'}=\left(3;2;-8\right)\).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ \(\overrightarrow{b}\) = (−2; −1; −3) có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức cos(d, d') = \(\left|\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a'}\right)\right|=\left|\cos\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)\right|\).

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\dfrac{x-7}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z-11}{4}\) và \(d':\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+6}{5}=\dfrac{z-1}{-4}\);

b) \(d:\dfrac{x-9}{3}=\dfrac{y+4}{6}=\dfrac{z+1}{6}\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=9-10t\\y=7-10t\\z=15+5t\end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{{}\begin{matrix}x=23+2t\\y=57+t\\z=19-5t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=24+t'\\y=6+t'\\z=t'\end{matrix}\right.\).

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\) = (a₁; a₂; a₃) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = (n₁; n₂; n₃). Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng D vuông góc với (P) (Hình 12).

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (D, d)?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức: \(\sin\left(d,\left(P\right)\right)=\left|\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}\right)\right|\).

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=11+3t\\y=-11+t\\z=-21-2t\end{matrix}\right.\) và \(\left(P\right):6x+2y-4z+7=0;\)

b) \(d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+4}{4}=\dfrac{z-5}{2}\) và \(\left(P\right):2x+2y-4z+1=0\);

c) \(d:\dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y+5}{4}=\dfrac{z+11}{2}\) và \(\left(P\right):2y-4z+7=0\).

Cho hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=\left(n_1;n_2;n_3\right),\overrightarrow{n'}=\left(n'_1;n'_2;n'_3\right)\) (Hình 14).

Gọi d và d' là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (P) và (P'). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') là góc giữa hai đường thẳng d và d'. So sánh cos((P), (P')) và \(\cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'}\right)\).