Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Cho ba đường thẳng
$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=2+3 t ; d^{\prime \prime} \\ z=3-t\end{array}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t^{\prime} \\ y=-2+t^{\prime} \\ z=1+3 t^{\prime}\end{array}\right.\right.$ và $d^{\prime \prime}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t^{\prime \prime} \\ y=-2+t^{\prime \prime} \\ z=3+3 t^{\prime \prime}\end{array}\right.$
a) Đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime}$ và đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime \prime}$ có song song hay trùng với đường thẳng d không?
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2 t^{\prime} \\ 2+3 t=-2+t^{\prime} \\ 3-t=1+3 t^{\prime}\end{array}\right.$ (ẩn $t$ và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và $\mathrm{d}^{\prime}$.
c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2 t^{\prime \prime} \\ 2+3 t=-2+t^{\prime \prime} \\ 3-t=3+3 t^{\prime \prime}\end{array}\right.$ (ẩn $t$ và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d ".

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=50+t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=t'\\z=50\end{matrix}\right.\).

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1+2t\\z=1-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=t'\\y=7+4t'\\z=9t'\end{matrix}\right.\).

a) Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a'}\). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d'?

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=20\\z=9\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=20\\z=1+3t'\end{matrix}\right.\).

Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?