a) Các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec u\left( {1;2;3} \right)\), \(\vec u'\left( {2;4;6} \right)\) và \(\vec u''\left( {2;4;6} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\) nên ba vectơ \(\vec u\), \(\vec u'\) và \(\vec u''\) là các vectơ cùng phương. Suy ra \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2t'\) ta có \(4 = 2t'\), suy ra \(t' = 2\).
Thay \(y = 1\) và \(t' = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 4t'\), ta có \(1 = 7 + 4.2\). Điều này là vô lí. Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 2t''\) ta có \(4 = 5 + 2t''\), suy ra \(t'' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = 1\), \(z = 1\) và \(t'' = - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d''\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 4.\frac{{ - 1}}{2}\\1 = 4 + 6.\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\). Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm \(M\) thuộc \(d''\).
c) Từ các câu a và b, ta có \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm \(M\) thuộc \(d\) và \(d''\), \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy ta suy ra \(d\parallel d'\) và \(d \equiv d''\).