Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1; - 5;0} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1t\\y =  - 2 - 5t\\z =  - 3 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - 5t\\z =  - 3\end{array} \right.\).

b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 2;5} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 2;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(a\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 3t\\y = 0 - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y =  - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2; - 3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {5; - 3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}\).

b) Đường thẳng \(b\) đi qua hai điểm \(A\left( {4;7;1} \right)\) và \(B\left( {6;1;5} \right)\) nên sẽ nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 6; - 4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Ta cũng có vectơ \(\vec b = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3; - 2} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(b\).

Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) là \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{7}\), nên nó đi qua điểm \(M\left( {3; - 3;2} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {1;3;7} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 3 + 3t\\z = 2 + 7t\end{array} \right.\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường ngắm bắn \(d\) của xạ thủ đi qua hai điểm \(M\left( {3;3;1,5} \right)\) và \(N\left( {3;4;1,5} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {0;1;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của đường ngắm bắn \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 0t\\y = 3 + 1t\\z = 1,5 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 1,5\end{array} \right.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' =  - \frac{1}{2}\).

Thay \(y =  - 1\) và \(t' =  - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne  - 1\).

Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).

Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) =  - 15 \ne 0.\)

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\).

Do \(d\parallel d'\) nên đường thẳng \(d\) cũng nhận vectơ \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;2;4} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 0 + 2t\\z = 1 + 4t\end{array} \right.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a, VTCP a : (0;0;3) 

VTCP b : (4;2;0) 

=> VTCP a . VTCP b = 0 

=> a vuông góc b 

Lại có [VTCPa.VTCPb] . vectơAB =0  ( với A là điểm thuộc a, B là điểm thuộc b ) 

=> a;b cắt nhau 

b, Cho H là điểm giao giữa a;b => H(1;2;3t) 

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}1+4t'=1\\2+2t'=2\\3t=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'=0\\t'=0\\t=2\end{matrix}\right.\)

Với t = 2 => H(1;2;6) 

(Trả lời bởi Nguyễn Huy Tú)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;6} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.3 + 4.3 + 2.6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{5}{6}\).

Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {33^o}33'\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;2;1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;3; - 3} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 2.3 + 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.\)

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {13^o}38'\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;4;4} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {P'} \right)\) là \(\vec n' = \left( {7;0;7} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.7 + 4.0 + 4.7} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {4^2}} .\sqrt {{7^2} + {0^2} + {7^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {60^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)