Question

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) khác \(\overrightarrow{0}\).

a) Giải thích tại sao có thể viết: \(M\in d\Leftrightarrow\overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{a}\left(t\in R\right)\).

b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo x₀, y₀, z₀ và a₁, a₂, a₃.

Answer 1

a) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).

Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)