Xét \(2\sqrt{n+1}-\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\)
Mà \(\sqrt{n}< \sqrt{n+2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}>0\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}-\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\right)>0\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}>\sqrt{n}+\sqrt{n+2}\)
Trong hai số: \(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\) và \(2\sqrt{n+1}\) ( n là số nguyên dương), số nào lớn hơn?
Cho a= \(\sqrt{2}-1\)
a) Viết a2 , a3 dưới dạng \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) trong đó m là số tự nhiên .
b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
\(P=\left(2\sqrt{a}-\sqrt{b}-\dfrac{2\sqrt{b}\left(2\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\left(\dfrac{3}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{6\sqrt{b}+4}{a-\sqrt{ab}+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\right)\) với a,b là các số nguyên dương không lớn hơn 9; \(a\ne b;b\ne4a\)
a) Rút gọn P
b) Cho \(n=\overline{ab}\) (n là số có 2 chữ số a, b và \(a\ne0\)). Tìm n để P lớn nhất
CMR với mọi số nguyên dương n, ta có \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+....+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\dfrac{n+1}{2}}\)
Chứng mình rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}< 0,02\)
1/Cho x,y là 2 số nguyên dương thỏa mãn : \(x^2+y^2+10⋮xy\).CMR: x,y là số lẻ và nguyên tố cùng nhau.
2/Cho 2 số thực a,b đều lớn hơn \(\sqrt{2}\). CMR:
\(F=\dfrac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{a^2-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{b^2-2}}+\dfrac{3}{8}\sqrt{2ab+1}\ge\dfrac{13}{8}\)
So sánh \(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\) và \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) ( n là số nguyên dương)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
